binomio

Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término esun número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

El coeficiente a en los términos de xbyc - xcyb es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).
Formulación del teorema
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también esrepresentado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación:


El coeficiente de en el desarrollo de es



Tipos de Números
En el conjunto de los naturales existe una amplia variedad de números cuyas características particulares los distinguen de otros números dentro de dicho conjunto. Tales Características nos permiten dividirlos en subconjuntos cuyas denominaciones varían según laspropiedades o características que posea cada subconjunto. De acuerdo a lo dicho, en el conjunto de los números naturales podemos encontrar los siguientes tipos de números:
Números Primos: son aquellos números cuyo único divisor propio es el 1, en otras palabras son aquellos números que sólo pueden ser divididos por sí mismos y por el 1. El numeral 2 es el único primo par que existe.
Ejemplo:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
El matemático griego Euclides, demostró que existen infinitos números primos.
Por miles de años los números primos han cautivado a matemáticos y profanos, quienes se han dejado seducir por las intrínsecas características que poseen los siempre enigmáticos primos.
Números Perfectos: En matemáticas se le llama número perfecto a aquel natural que es igual a la sumade sus divisores propios, es decir todos los números naturales que lo dividen diferentes del número dado, si tomamos el 28 y buscamos sus divisores propios, sin incluir el 28, tenemos:
1, 2, 4, 7, 14
28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14
Por lo tanto, siguiendo la definición de número perfecto, podemos afirmar que el 28 es uno de ellos.
Los primeros cuatro números perfectos son:

Incluso existe una fórmulaque nos genera números perfectos pares:

Siempre que (2n - 1) sea un número primo la fórmula nos generará un número perfecto, a tales números primos se le conoce con el nombre de primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII que estudió las propiedades de dichos números, Marin Mersenne. Los números perfectos pares tienen muchas propiedades interesantes entre ellas podemos citar:
a) Sonnúmeros triangulares.
b) Son números Hexagonales.
c) Son números combinatorios.
d) El dígito correspondiente a las unidades siempre es 6 ó 8.
Hasta la fecha, julio del 2011, se desconoce si existen números perfectos impares, de existir tales números deben ser muy grandes, otra cuestión que permanece abierta (no se ha podido demostrar) es la existencia de infinitos números perfectos. Quién sabe,quizás tú amigo lector sea quien dé respuesta a tales interrogantes.
Números Abundantes: son aquellos naturales para los que se cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el número dado.
Ejemplo:
Los divisores propios de 20 son: 10, 5, 4, 2, 1.
10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 22; 20 < 22, entonces el 20 es un número abundante.
Número Deficientes: son aquellos naturales para los que secumple que la suma de sus divisores propios es menor que el número dado.
Ejemplo:
Los divisores propios de 16 son: 8, 4, 2, 1.
8 + 4 + 2 + 1 = 15; 16 > 15, entonces el 16 es un número deficiente.
Todos los números que son potencia de 2, es decir los números que pueden ser representados como: 2n, son números deficientes. Si observamos el ejemplo, notaremos que la suma de los divisores propios de...