Binomios Matriciales

Binomios matriciales

El objetivo de esta tarea es analizar propiedades relacionadas con binomios matriciales.

PRIMERA PARTE
En esta primera parte, la propiedad a analizar buscará hallar una fórmula general para la resolución de las expresiones matriciales dispuestas partiendo de dos específicas expuestas como X e Y. En todos los casos, se procederá al desarrollo de distintos cálculos apartir de dichas expresiones y se usará la calculadora para el trabajo de potencias sobre las distintas matrices.
Para empezar desarrollaremos X:

X= (1 1
1 1)

A partir de esta expresión podemos comenzar:
1.-a- En primera instancia obtendremos x elevado a 2, 3 y 4 con el uso de la calculadora:
x2 = (2 2 x3= (4 4x4= (8 8
2 2) 4 4) 8 8)
2.-a- En segunda instancia buscaremos una fórmula que nos permita hallar la expresión de xn considerando las potencias enteras obtenidas de cada una de las matrices desde las cuales partimos:
xn
(1 1
1 1)
(x11 x12
x21 x22) Potencia a la cual se eleva la matriz Números componente de la matriz elevados a lapotencia Patrón que elevado
resulte componentes de la matriz
1 (x11=1 x12=1
x21=1 x22=1) (x11=20 x12=20
x21=20 x22=20)
2 (x11=2 x12=2
x21=2 x22=2) (x11=21 x12=21
x21=21 x22=21)
3 (x11=4 x12=4
x21=4 x22=4) (x11=22 x12=22
x21=22 x22=22)
4 (x11=8 x12=8
x21=8 x22=8) (x11=23 x12=23
x21=23 x22=23)
5 (x11=16 x12=16
x21=16 x22=16) (x11=24 x12=24x21=24 x22=24)
6 (x11=32 x12=32
x21=32 x22=32) (x11=25 x12=25
x21=25 x22=25)
La tabla demuestra la variación de de los componentes de la matriz X ante distintas elevaciones y los números elevados que resulten componentes de la matriz. De esta manera se simplifica la obtención de un patrón que nos delegue a hallar la expresión de xn:
Xn= (2n-1 2n-1 = 2n-1
2n-1 2n-1)A continuación desarrollaremos Y:

y= (1 -1
-1 1)
A partir de esta expresión podemos comenzar:
1.-b- En primera instancia obtendremos Y elevado a 2, 3 y 4 con el uso de la calculadora:
y2 = (2 -2 y3= (4 -4 y4= (8 -8
-2 2) -4 4) -8 8)
2.-b- En segunda instancia buscaremos una fórmula que nos permitahallar la expresión de Yn considerando las potencias enteras obtenidas de cada una de las matrices desde las cuales partimos:
yn
(1 -1
-1 1)

(Y11 Y12
Y21 Y22) Potencia a la cual se eleva la matriz Números componente de la matriz elevados a la potencia Patrón que elevado
resulte componentes de la matriz
1 (Y11=1 Y12=-1
Y21=-1 Y22=1) (Y11=20 Y12=-20
Y21=-20 Y22=20)
2(Y11=2 Y12=-2
Y21=-2 Y22=2) (Y11=21 Y12=-21
Y21=-21 Y22=21)
3 (Y11=4 Y12=-4
Y21=-4 Y22=4) (Y11=22 Y12=-22
Y21=-22 Y22=22)
4 (Y11=8 Y12=-8
Y21=-8 Y22=8) (Y11=23 Y12=-23
Y21=-23 Y22=23)
5 (Y11=16 Y12=-16
Y21=-16 Y22=16) (Y11=24 Y12=-24
Y21=-24 Y22=24)
6 (Y11=32 Y12=-32
Y21=-32 Y22=32) (Y11=25 Y12=-25
Y21=-25 Y22=25)
La tabla demuestra la variación de delos componentes de la matriz Y ante distintas elevaciones y los números elevados que resulten componentes de la matriz. De esta manera se simplifica la obtención de un patrón que nos delegue a hallar la expresión de Yn:
Yn= (2 n-1 -2 n-1 = 2n-1 (1 -1
-2 n-1 2 n-1) -1 1)

4- A continuación buscaremos una fórmula que nos permita hallar la expresión de
(x+y)n:Para poder obtener (x+y)n necesitamos en primera instancia sumar ambas matrices y después realizar la misma tabla que anteriormente para simplificar la obtención de la fórmula:
Z=(x+y)
Z= (1 1 + (1 -1 = (2 0
1 1) -1 1) 0 2)

Z n
(2 0
0 2)

(Z11 Z12
Z21 Z22) Potencia a la cual se eleva la matriz Números componente de la matriz elevados a la...