BISECTRS

Bisectriz


Construcción gráfica con regla y compás.
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugargeométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.
Índice [ocultar]
1 Propiedades
2 Aplicación en triángulos
3 Propiedades en untriángulo inscrito
4 Véase también
5 Enlaces externos
[editar]Propiedades

Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo
Dos rectas, al cruzarse, determinancuatro ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos rectos entre ellas.

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Secortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a +b = 90º.
[editar]Aplicación en triángulos

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama elincentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices deltriángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como O pertenece a D',entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C) y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Alser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.