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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Integrales Impropias y Series
1. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales:
∞

(a)

∞

1
dx
2
x
1
(converge)
∞

(j)

∞

1

(b)

3
2

(x + 1)
(converge)
0

dx

(k)

1
dx
(c)
x
1
(diverge)

( )

xe−x dx

(m)

x2 − 2
5

(x2 + x + 1) 2(converge)

dx

−∞

0

(converge)

∞

2

∞

xe−x
dx
1 + x + x2
0
(converge)
∞

(n)

(˜
n)

−∞

(diverge)
x3 + 2
√
dx
(g)
x8 + 1
3
(diverge)
√

(h)
1

(o)

2 + sen x + log(x)
dx
x2 + 1
0
(converge)
∞

x
x3

x2 + 1
dx
x4 + 1
0
(converge)
∞

∞

∞

log(x)
dx
4+1
x
−∞
(converge)
∞

3

x2 e−x dx

(f)

−1

(p)

dx

(diverge)e3x
dx
e6x + 5e3x + 2
3
(converge)

(q)

1

x

3 dx

(log x)
3
(diverge)
∞

∞

(i)

1
dx
x 5x + 3
1
(converge)
√

∞

∞

(e)

log x
dx
x+5
1
(diverge)
∞

∞

(d)

1
dx
x 3x + 2
1
(converge)
√

log x
dx
x
+ e−x
1
(diverge)

2. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales:
∞

(a)

sen2 x
dx
x2
0
(converge)
1

1

(j)1
dx
xp

(b) p > 1
0

2

(k)

(diverge)
1

1

( )

0

0

(converge)
1
dx
x+1
−2
(converge)
√
3

(converge)
3

(n)

(diverge)
4

x
dx
16 − x2
0
(converge)
√

3

e−x cos x
dx
x
0
(converge)

1

x− 3 dx

1

(o)

(converge)
1

1
√

(x + 1) 1 − x2
(converge)

dx

1 − k 2 x2
dx
1 − x2
0
(converge)

|k| 0.

x−π(1−cos(x))2 dx.

f)

7 log(x)−1
dx.
e sin((x−e)α )

g)

7
e −e
dx.
2 sin((1−cos(x−2))α )
x

2

Distinguir casos seg´
un el valor de α > 0.
Distinguir casos seg´
un el valor de α > 0.

2

h)

1 log(1+xα )
dx.
0 1−cos(xβ )

Distinguir casos seg´
un los valores de α > 0 y β > 0.

4. Calcular el ´
area encerrada por la curva dada por f (x) =
0≤x≤

3
.
5

1
5x − 3

23

cuando se tiene

−→

5. Determinar el volumen de revoluci´on que se obtiene al rotar, en torno del eje OY a
8a3
.
la bruja de Agnesi de ecuaci´on x = 2
4a + y 2
6. Determinar el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera al rotar la curva dada
por y = e−x , x ≥ 0, en torno al eje OX.
7. Determinar para qu´e valores de α > 0
a) El volumen del s´
olido de revoluci´on que segenera al rotar el ´area bajo la curva dada
por y = x1α , x ≥ 1, en torno al eje OX es finito.
b) El del ´
area de la superficie de revoluci´on que se genera al rotar la curva dada por
y = y = x1α , x ≥ 1, en torno al eje OX es finita.

3

1. Estudiar la convergencia de las siguientes series de t´erminos positivos:
∞

(a)
k=1
∞

(b)
k=1
∞

(c)
k=1

∞
k−1

1 2
k 5

k=1∞

1
10k + 1

(m)

1
3k − k

(n)

k=1
∞

∞

k3
(d)
k!
k=1
∞ √
( 5 − 1)k
(e)
k2 + 1

(˜
n)

k=1

(o)
∞

∞

(i)
k=1
∞

(j)
k=1
∞

(k)
k=1

k=1

1
k

2
k

∞

(q)

k(k + 1)

k=1

k=1

k k sen2

(p)
1

(g)

(h)

log 1 +
k=1

k!
kk

∞

∞

1
2
k!
log
k
k=1
∞

k=1

(f)

1 · 4 · 9 · · · k2
1 · 3 · 5 · · · (4k− 3)
2k k!
kk

k=1

∞

∞

k3
ek

( )

3k
2k Arctgk k
k=1
∞

eArctg k
k2 + 1

(r)

k
ek

(s)

k=1
∞

k=1
∞

k
(k + 1)ek

(t)
k=1
∞

1
(k + 2)2 − 1

(u)
k=1

4

k+1
2k
1
1000k + 1
k cos2

kπ
3

2k
2 + (−1)k
2k

2. Usando ya sea la serie telesc´opica o bien la serie geom´etrica, calcular las siguientes
series:
∞

∞

(a)
k=1
∞(b)
k=1
∞

(c)
k=1
∞

k=1
∞

(k)

1
k2 − 1

∞

2k + 1
2
k (k + 1)2
2 +3
6k

k

∞

(n)
k=1

k=1
∞

(f)
k=2
∞

∞

(˜
n)

3k−1

k=1

2k + 3
(k − 1)k(k + 2)

∞

(o)
k=1

k−1

(g)
k=1
∞

(h)
k=2

(−1)
(2k + 1)
k(k + 1)
1
(k − 1)(k + 1)(k + 3)(k + 5)

k=1
∞

(j)
k=1

∞

(q)
k=1

k2

1
−1

∞

k
(k + 1)!
k+5...