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Resumen(cito) Teórico


Las rectas

Una recta es un conjunto de puntos que satisfacen una cierta relación. Si hablamos de una recta en (2 (o sea en el plano), los puntos serán de la forma ( x, y ) o sea, con dos componentes. Si la consideramos en el espacio ((3) tendrán tres componentes. Para describir este conjunto de puntos existe una relación (o ecuación), que en realidad son varias! Bah!no es que sean varias las ecuaciones sino las formas de expresar la misma relación entre las componentes de esos puntos que forman la recta.
En general los problemas consisten en escribir la ecuación de una recta dados ciertos datos, y ahí está el asunto: según qué datos nos dan es la forma de la ecuación que vamos a utilizar. Pero que te quede bien claro: todas las formas de la ecuación de unarecta son equivalentes. Y se puede pasar de una a otra por simples operaciones algebraicas...
Las más usadas son estas cuatro:

a) Forma pendiente-ordenada al origen de la ecuación de la recta:

Si nos dan una recta con una inclinación tal que forma un ángulo ( con el eje x (absisas), y corta el eje y (ordenadas) en y ( b, mirando el gráfico vemos que como el ángulo es fijo
a lo largo detoda la recta ( sino no sería recta! ) tenemos que













Esta eme se llama pendiente de la recta. Entonces, para cualquier par de puntos ( x, y) que pertenezcan a la recta tenemos



Que usualmente se escribe en la archiconocida forma

b) Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.

Cuando nos dicen: sea una recta de pendiente m, que pasa por el punto ( x1, y1 ) lamanera de escribirla es:
y ( y1 ( m (x ( x1)

Para entender porqué escribo de esta manera la ecuación podemos pensar así: Sabemos que una recta con pendiente m, que corta el eje vertical en b se describe por la ecuación: y ( m x ( b. Pasa que no nos dicen cuanto vale b. Entonces nos avivamos y pensamos: la recta pasa por el punto (x1, y1 ), o sea que este punto pertenece a la rectaentonces también cumple esta ecuación. Y entonces escribimos: y1 ( m x1 ( b
Si ahora restamos estas dos ecuaciones eliminamos b y queda todo escrito en términos de los datos que nos dieron ( la pendiente y el punto ).






c) Forma vectorial de la ecuación de la recta.

Como sabrás, un vector es un bicho que tiene un módulo y una dirección, y que puede pensarse como un elemento o un punto enun espacio vectorial. En ese caso, dada una base del espacio, el vector puede ser expresado a través de sus componentes relativa a esa base. O sea v ( ( v1, v2 ). ( Si no entendés esto leete el próximo tema del resumen ).

Pero también sabemos que un punto A del plano o del espacio se representa por medio de sus coordenadas. Bueno, resulta que las coordenadas de cualquier punto pueden pensarsecomo las componentes de un vector que va desde el origen al punto en cuestión. Por lo tanto, la dirección de una recta puede expresarse por medio de un “vector director” ( o sea, que da la dirección ) y un punto por el que pasa. Si conocemos un punto B ( ( x0, y0 ) de una recta que tiene la misma dirección que un vector v, entonces podemos escribir su ecuación así:L ( ( v ( B
Donde alfa ( ( ) es un parámetro, o sea una variable a la que le puedo dar cualquier valor
y me determina un punto en la recta. Si le doy otro valor a (, me da otro punto, y así sucesivamente..., pero siempre alguno que pertenece a la recta. Como los puntos y los vectores tienen dos componentes (coordenadas), esta ecuación vectorial puede ponerse de la forma:

Ec.vectorial en componentes: ( x, y ) ( ( ( v1, v2 ) ( ( x0, y0 )

d) Forma paramétrica de la ecuación de la recta.

Esta forma se deduce directamente de la forma vectorial. Lo único que tenemos que hacer es igualar las respectivas componentes de los dos miembros de la ecuación vectorial, cada una por su lado:







Sobre espacios vectoriales y vectores





Vamos a repasar las...