Boletin270

MATEMÁTICAS Y CULTURA

BOLETÍN
23.11.2010

No. 270

COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS
DESCOMPOSICIÓN ESPECTRAL DE UN OPERADOR
En un espacio vectorial W con producto interno,

el adjunto T

de un operador T

se define como:

m , r W (T (m) r ) = (m T (r )) .
Un operador H es normal si H  H
nombres especiales:

H  H . Algunos casos particulares de operadores normales recibenSimétrico
si H T H
H
Hermitiano
si H
Antihermitiano
si H
H
H 1.
Unitario
si H
Además, los valores característicos de un hermitiano son reales; de un antihermitiano son imaginarios; y de los
unitarios, el módulo de cada valor característico es uno.
Se llama suma de tres conjuntos A, B y C al conjunto que se expresa como

A B C

a b c

a

A, b B y c C ; esta definición se generaliza para cualquiernúmero finito de

sumandos.
Si los conjuntos como A, B y C son subespacios de un espacio vectorial V de dimensión finita, tales que la
intersección de cada uno de ellos con la suma de los otros sumandos sea el conjunto que sólo contiene al vector
cero de V, esto es: A ( B C )
0v ; B ( A C )
0v y C ( A B )
0v ; y además la suma de los
tres subespacios es igual al espacio V, se dice que V es la sumadirecta de A, B y C y se expresa con
V A B C.
Como

un

U

c, d ,

T

(S U )

ejemplo

c 2d ,

tenemos

d

0, 0, 0, 0

c, d
yU

a

R

S

0, a, 0, 0 a

R ;

T

tres subespacios de R 4 tales que S

(S T )

b, b, 2b, b b
(T U )

R

y

0, 0, 0, 0 ;

0, 0, 0, 0 .

x, y, z, w de R 4 puede obtenerse en forma única como v s t u donde s S ;
t T
u U;
y
así
3,1, 2,1 (0,4,0,0) ( 1, 1, 2, 1) (4, 2,0,2);
1,2,0, 1(0, 1,0,0) (1,1,2,1) ( 2,2, 2, 2) y en general, como puede comprobarse,
v x, y, z, w (0, a,0,0) (b, b,2b, b) (c, d , c 2d , d ); donde

Además, todo elemento v

MB
a
2x y 2z 5w
b x z 2w
c
z 2w
c 2d
d x z 3w

2

2 x z 4w

por lo que, R 4 es la suma directa de S, T y U; esto es: R4 S T U .
A un operador H : R4
R4 , tal que H ( x, y, z, w) (0, 2 x y 2 z 5w, 0, 0)
proyección del operador identidad enR

T U

4

s S se le suele llamar la

sobre el subespacio S a lo largo de la suma de T y U;

( x, 2 x 2 z 5w, z, w) x, z, w R .

De manera semejante, el operador K : R 4

R4 tal que

K ( x, y, z, w) ( x z 2w, x z 2w, 2 x 2 z 4w, x z 2w) t T
es la proyección de I : R4

R4 sobre T a lo largo de
( z 2w, x y z 2w, 2 x z 4w,

S U

También el operador J : R4

x z 3w) x, y, z, w R .

R4 tal que

J ( x,y, z, w) ( z 2w, x z 3w, 2 x z 4w, x z 3w) u U
es la proyección de I sobre U a lo largo de
S T
( x z 2w, x y z 3w, 2 x 2 z 4w, x z 2w) x, y, z, w R .
Consideremos ahora el espacio vectorial P2

ax2

bx c a, b, c

R , el producto interno en él, definido por

2

p q
Q

ak bk
k 0
2

mx

Q =

donde

a2 x 2

p

a1 x a0

y

q b2 x 2 b1 x b0 ;

y

el

subespacio

de

P2 :

mx m m R . El complementoortogonal de Q respecto a ese producto interno es

nx 2 rx n r n, r

R .

Ya que

ax2 bx c = mx 2 mx m nx2 rx n r ; con m

a b c
; n
3

P2 tal que
a b c 2 a b c
a b c
T (ax 2 bx c) =
= q Q
x
x
3
3
3
identidad en P2 sobre el subespacio Q a lo largo de Q .

2a b c
y r
3

a 2b c
, el
3

operador T : P2

es la proyección ortogonal del operador

Por otra parte, si un operador T en un espacio vectorial V dedimensión finita es normal, entonces existe un
operador en V por cada uno de los valores característicos diferentes cuya regla es: P(v) w E
y el operador
T es igual a
expresión T

P

P

1 1

2 2

P

1 1

...
P

2 2

k

...

Pk donde k es el número de valores característicos diferentes del operador T. A la
k

Pk se le llama descomposición espectral de T.

Además, la suma de estos operadores es eloperador identidad, esto es: P1

P2 ... Pk

toda pareja de ellos (si son diferentes) es igual al operador nulo

v V;

tal que

I ; y la composición de

(v) = 0v

MB
Como ejemplo tenemos el operador simétrico K : R
ecuación característica es:
1

1y

2

2

2
2

2

7

5

6 ; y espacios asociados E (1)

2

2 y, y y

2

7

R ; E (6)

6

0 con valores característicos:

x, 2 x x

R .

( 2b, b) E (1) y...