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Ejercicios del tema I.2.
Cuestiones del Capítulo I.
Problemas del Capítulo I
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I.2. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL.
INTRODUCCIÓN A LA ESTRUCTURADE ESPACIO VECTORIAL
Para introducirnos en la estructura de espacio vectorial planteamos la siguiente actividad con DERIVE:
Sean tres vectores concretos cualesquiera del plano; por ejemplo, losvectores . Se trata de comprobar si estos vectores cumplen las siguientes propiedades:
a) .Respecto de la SUMA DE VECTORES:
1. Propiedad asociativa.
2. Propiedadconmutativa:
3. Existencia de elemento neutro. ¿Cómo sería el elemento neutro de R2, es decir el vector tal que ?
4. Existencia del elemento opuesto. Si el elemento opuesto deun vector es un vector tal que . Calcular los elementos opuestos de
.
B) Respecto del PRODUCTO ESCALAR POR VECTORES
5. Distributiva respecto de la suma de escalares. Comprobarque si tomamos dos escalares cualesquiera , se cumple que .
6. Distributiva respecto de la suma de vectores. Comprobar que si tomamos un escalar cualquiera se cumple que
7. Seudoasociativa:
8. Elemento unidad. ¿Cuál es el escalar , o número real en este caso, tal que multiplicado por cualquier vector (por ejemplo ) se cumple que ?
Estaactividad nos muestra las ocho propiedades que cumplen los espacios vectoriales respecto de unos vectores concretos.
Si extendemos estas 8 propiedades a vectores cualesquiera de R2 habríamos dotadoal conjunto de los vectores del plano de estructura de espacio vectorial. Esta estructura formada por los vectores del plano y las dos operaciones (suma de vectores y producto de escalares porvectores) se suele denotar mediante (R2,+,.R).
DEFINICIÓN GENERAL DE LA ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
Consideremos un conjunto V no vacío dotado de una operación interna:
y una...
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