Breve Historia De Los Numeros Complejos
Páginas: 9 (2090 palabras)
Publicado: 2 de abril de 2015
1
Breve historia de los N´
umeros Complejos
Breve historia de los N´umeros Complejos
Teniendo conocimiento de c´
omo la raza humana ha adquirido su sabidur´ıa sobre ciertos
hechos y conceptos, estaremos en mejor disposici´
on de juzgar c´
omo los ni˜
nos adquieren
tal conocimiento.
George P´olya (1887-1985)
Primeras referencias: SI-SXII
La primera referencia escrita de la ra´ız cuadrada de unn´
umero negativo la encontramos en la
obra Stereometr´ıa de Her´
on de Alejandr´ıa (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I.
√
√
Es este trabajo comparece la operaci´on 81 − 144 aunque es tomada como 144 − 81, no sabi´endose
si este error es debido al propio Her´on o al personal encargado de transcribirlo.
La siguiente referencia sobre esta cuesti´on se data en el a˜
no 275 en laobra de Diophantus (aprox.
200-284) Arithmetica. En su intento de c´alculo de los lados de un tri´angulo rect´angulo de per´ımetro
12 y a´rea 7, Diophantus plante´o resolver la ecuaci´on 336x2 + 24 = 172x, ecuaci´on de ra´ıces complejas
como puede ser comprobado f´acilmente.
Son los matem´aticos hind´
ues los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas.
Mahavira, alrededor del a˜
no850, comenta en su tratado de los n´
umeros negativos que ”como en
la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener ra´ız
cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:
El cuadrado de un n´
umero, positivo o negativo, es positivo; la ra´ız cuadrada de
un n´
umero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo;no existe ra´ız
cuadrada de un n´
umero negativo ya que un n´
umero negativo no es un cuadrado.
Primeros estudios: SXVI
J. Cardan (1501 - 1576)
En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matem´atico, f´ısico y fil´osofo italiano, publica
”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un m´etodo para resolver ecuaciones algebraicas de
grado tres y cuatro. Esta obra se convert´ıa as´ı en elmayor tratado de a´lgebra desde los Babil´onicos,
3000 a˜
nos antes, que dedujeron c´omo resolver la ecuaci´on cuadr´atica.
Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente:
An´alisis Matem´atico VI - Curso 2006/2007
2
Breve historia de los N´
umeros Complejos
Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente que
esta cuesti´on es imposible. Noobstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma.
Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x + y = 10, xy = 40 dando como
√
√
soluciones 5 + −15 y 5 − −15. Por multiplicaci´on probaba Cardan que el producto era 40. Esta
es la primera constancia escrita de la ra´ız de un n´
umero negativo y de su manejo algebraico.
Cardan tambi´en tropieza con estas ra´ıces en las solucionesque presenta de la ecuaci´on c´
ubica
x3 = ax + b. Tales soluciones vienen dadas por:
3
x=
b
+
2
b
2
2
a
−
3
3
+
3
b
−
2
b
2
2
−
a
3
3
.
√
√
Para la ecuaci´on x3 = 15x + 4 esta f´ormula da como soluci´on x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121,
√
√
la cual Cardan di´o por v´alida. Como esta ecuaci´on tiene las ra´ıces 4, −2+ 3 y −2− 3, interesaba la
relaci´on con las propuestas por la f´ormulade Cardan. Fu´e el ingeniero hidra´
ulico Rafael Bombelli
(Italia, 1526 - 1572), unos treinta a˜
nos despu´es de la publicaci´on de la obra de Cardan, quien introdujo
√
un razonamiento que el mismo catalog´o de un tanto ”salvaje”. Plante´o que como −2 + −121 y
√
−2− −121 s´olo se diferencian en un signo, lo mismo deb´ıa suceder con sus ra´ıces c´
ubicas. As´ı escrib´ıa
3
−2 +
√
√
−121 = a + −by
3
−2 −
√
√
−121 = a − −b,
donde por c´alculo directo obten´ıa que a = 2 y b = 1, luego
3
−2 +
√
−121 +
3
−2 −
√
√
√
−121 = (2 + −1) + (2 + −1) = 4.
As´ı Bombelli ”daba sentido” a las expresiones ”sin sentido” de Cardan.
Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli
desarroll´o un c´alculo de operaciones con n´
umeros complejos que se...
Breve historia de los N´
umeros Complejos
Breve historia de los N´umeros Complejos
Teniendo conocimiento de c´
omo la raza humana ha adquirido su sabidur´ıa sobre ciertos
hechos y conceptos, estaremos en mejor disposici´
on de juzgar c´
omo los ni˜
nos adquieren
tal conocimiento.
George P´olya (1887-1985)
Primeras referencias: SI-SXII
La primera referencia escrita de la ra´ız cuadrada de unn´
umero negativo la encontramos en la
obra Stereometr´ıa de Her´
on de Alejandr´ıa (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I.
√
√
Es este trabajo comparece la operaci´on 81 − 144 aunque es tomada como 144 − 81, no sabi´endose
si este error es debido al propio Her´on o al personal encargado de transcribirlo.
La siguiente referencia sobre esta cuesti´on se data en el a˜
no 275 en laobra de Diophantus (aprox.
200-284) Arithmetica. En su intento de c´alculo de los lados de un tri´angulo rect´angulo de per´ımetro
12 y a´rea 7, Diophantus plante´o resolver la ecuaci´on 336x2 + 24 = 172x, ecuaci´on de ra´ıces complejas
como puede ser comprobado f´acilmente.
Son los matem´aticos hind´
ues los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas.
Mahavira, alrededor del a˜
no850, comenta en su tratado de los n´
umeros negativos que ”como en
la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener ra´ız
cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:
El cuadrado de un n´
umero, positivo o negativo, es positivo; la ra´ız cuadrada de
un n´
umero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo;no existe ra´ız
cuadrada de un n´
umero negativo ya que un n´
umero negativo no es un cuadrado.
Primeros estudios: SXVI
J. Cardan (1501 - 1576)
En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matem´atico, f´ısico y fil´osofo italiano, publica
”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un m´etodo para resolver ecuaciones algebraicas de
grado tres y cuatro. Esta obra se convert´ıa as´ı en elmayor tratado de a´lgebra desde los Babil´onicos,
3000 a˜
nos antes, que dedujeron c´omo resolver la ecuaci´on cuadr´atica.
Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente:
An´alisis Matem´atico VI - Curso 2006/2007
2
Breve historia de los N´
umeros Complejos
Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente que
esta cuesti´on es imposible. Noobstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma.
Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x + y = 10, xy = 40 dando como
√
√
soluciones 5 + −15 y 5 − −15. Por multiplicaci´on probaba Cardan que el producto era 40. Esta
es la primera constancia escrita de la ra´ız de un n´
umero negativo y de su manejo algebraico.
Cardan tambi´en tropieza con estas ra´ıces en las solucionesque presenta de la ecuaci´on c´
ubica
x3 = ax + b. Tales soluciones vienen dadas por:
3
x=
b
+
2
b
2
2
a
−
3
3
+
3
b
−
2
b
2
2
−
a
3
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.
√
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Para la ecuaci´on x3 = 15x + 4 esta f´ormula da como soluci´on x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121,
√
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la cual Cardan di´o por v´alida. Como esta ecuaci´on tiene las ra´ıces 4, −2+ 3 y −2− 3, interesaba la
relaci´on con las propuestas por la f´ormulade Cardan. Fu´e el ingeniero hidra´
ulico Rafael Bombelli
(Italia, 1526 - 1572), unos treinta a˜
nos despu´es de la publicaci´on de la obra de Cardan, quien introdujo
√
un razonamiento que el mismo catalog´o de un tanto ”salvaje”. Plante´o que como −2 + −121 y
√
−2− −121 s´olo se diferencian en un signo, lo mismo deb´ıa suceder con sus ra´ıces c´
ubicas. As´ı escrib´ıa
3
−2 +
√
√
−121 = a + −by
3
−2 −
√
√
−121 = a − −b,
donde por c´alculo directo obten´ıa que a = 2 y b = 1, luego
3
−2 +
√
−121 +
3
−2 −
√
√
√
−121 = (2 + −1) + (2 + −1) = 4.
As´ı Bombelli ”daba sentido” a las expresiones ”sin sentido” de Cardan.
Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli
desarroll´o un c´alculo de operaciones con n´
umeros complejos que se...
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