buenas tareas

Sección 9.1 Campos direccionales

401

FIGURA 9.1

CAMPOS

DIRECCIONALES

W Elementos lineales W Campo de direcciones n

Campo de pendientes W Campo de elementos lineales

Elementoslineales Examinemos la ecuación diferencial de primer orden dy/u!x = y. Esta
ecuación significa que las pendientes de las tangentes a la gráfica de una solución están
determinadas por la funciónf(x, y)= y. Cuandof(x, y) se mantiene constante -esto es, cuando
y = c, donde c es cualquier constante real- estamos obligando a que la pendiente de las
tangentes a las curvas de solución tenga el mismovalor constante a lo largo de una línea
horizontal; por ejemplo, para y = 2 podemos trazar una serie de segmentos lineales cortos o
elementos lineales (cada uno de pendiente 2) con su punto medio enla línea. Como vemos en
la figura 9.2, las curvas de solución cruzan esta recta horizontal en cada punto tangente a los
elementos lineales.
curvas de solución

FIGURA 9.2

Isoclinas y campos dedirecciones La ecuación y = c representa una familia a un
parámetro de líneas horizontales. En general, cualquier miembro de la familiaf(x, y) = c se
llama isoclina, que literalmente significacurva a lo largo de la cual la inclinación de las
tangentes es igual. Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isoclinas en
que los elementos lineales se construyen adecuadamente.La totalidad de esos elementos
lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo de
pendientes o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial dy/dx =f(x,y). Según
apreciamos en la figura 9.3a), el campo de direcciones recuerda las “líneas de flujo” de la
familia de curvas de solución de la ecuación diferencial y’ = y. Si deseamos una solución quepase por el punto (0, l), debemos formar una curva, como se indica en gris en la figura 9.3b),
que pase por este punto de modo que atraviese las isoclinas con las inclinaciones adecuadas.

402...