C_nicas_A

Universidad Tecnológica Nacional

SISTEMAS DINÁMICOS I

Facultad Regional San Rafael

Comisiones 3, y 4
2015

CÓNICAS
INTRODUCCIÓN
Desde la antigüedad se conocen las llamadas secciones cónicas. Su presencia en la vida real y
científica a veces pasa desapercibida, pero sin embargo son comunes y frecuentes. Una parábola está en una
trayectoria de un objeto que se arroja, una elipse en las órbitasplanetarias, y la circunferencia en ruedas y
similares.
Todos hemos oído hablar de una antena parabólica, o de las leyes de Kepler para el movimiento de
los planetas. Vamos a estudiarlas analíticamente, o sea analizando sus propiedades más importantes y útiles.
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y
un plano; si dicho plano no pasa por elvértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Son 4:
•

Circunferencia

•

Elipse

•

Parábola

• Hipérbola
La circunferencia se obtiene por la intersección de un plano
perpendicular al eje del cono; la elipse por un plano inclinado con
respecto al eje; la parábola se genera con un plano paralelo a la
generatriz y la hipérbola por un plano que es paralelo al eje.
En el estudio de las cónicasseguiremos un esquema que en todos los
casos seguirá un cierto patrón o secuencia.

ESQUEMA DE ANÁLISIS DE CÓNICAS
En el estudio de las cónicas seguiremos un esquema que en todos los casos seguirá un cierto patrón
o secuencia.
Definición geométrica, que contiene siempre el concepto de lugar geométrico y distancia
entre puntos.
Definición de los elementos propios de cada una.
Definición analítica,transformando la anterior en una expresión matemática.
A partir de la misma y mediante un desarrollo se obtiene la ecuación característica de la
cónica.
Desarrollo de las distintas formas de la ecuación.

Análisis particular de la ecuación general de segundo grado en cada caso.
Representación gráfica
Intersecciones entre ellas y con rectas
DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Todas las definiciones de lascónicas tienen algo en común en su inicio. Comienzan diciendo “………..
es el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la distancia…..”
Por esto es fundamental recordar
cómo se calcula la distancia entre dos puntos
del plano, cuyas coordenadas son (x1; y1), (x2;
y2).
y2

d

d = (x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y1 )2

y1
x2

x1

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE LAS CÓNICAS
Al estudiar cónicas hallaremoselementos comunes entre ellas. Por ejemplo:
Elemento

Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola

Centro

Si

Si

No

Si

Focos

No

Si

Si (solo uno)

Si

Asíntotas

No

No

No

Si

Directriz

No

No

Si

No

Radio

Si

No

No

No

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
Recibe este nombre una ecuación de segundo grado en dos variables cuya propiedad más
importante es que puede representar, de acuerdo a losvalores de sus coeficientes a cualquier cónica, e
inclusive a una recta. La expresión es la siguiente:
A x2 + B x y + C y2 + D x + E y + F =0
A, B, C, D, E y F son coeficientes, de cuyo valor depende si la ecuación representa a una cónica, que
tipo de cónica es, o si no representa lugar geométrico.
El procedimiento para analizar que representa la ecuación es el siguiente:
−

Completar cuadrados.−

El resultado del proceso es una ecuación con uno o dos términos cuadráticos

Si la ecuación tiene solución, representa un lugar geométrico. Si no tiene solución real, no hay lugar
geométrico.
Por ejemplo, luego de completar cuadrados podría habernos quedado alguna expresión como las
que siguen:
−

(x − 3)2 + (y + 1)2 = 4
2

2

(x − 3) + (y + 1) = −4

Ecuación 1
Ecuación 2

Si vemos lo que indicala ecuación 1 notamos que hay soluciones reales ya que la suma de dos
términos cuadráticos da un número positivo. En cambio la ecuación 2 no tiene soluciones reales, ya que la
suma de dos términos cuadráticos no da un número positivo.
4
Por ejemplo, dada la ecuación:
x2 + y2 − 6 x + 4 y + 4 = 0

2

(x2 − 6 x) + ( y2 + 4 y) = −4
(x2 − 2. 3 x + 9) + ( y2 + 2. 2 y + 4 ) = −4 + 9 + 4
2

2

(x −...