Cadenas De Markov

1- Una compañía de investigacion de mercados paga a un grupo de familias para mantener un registro diario de sus compras semanales de alimentos. El registro de 20 de tales casas se examina con respecto a las empresas de un producto respecto al cual existen las marcas A, B, C. La siguiente tabla presenta las marcas elegidas por las 20 familias en 2 semanas sucesivas:

a- Construir la matrizde probabilidades de transición.
| A | B | C |
A | 7/10 | 2/10 | 1/10 |
B | 1/6 | 2/6 | 3/6 |
C | 0 | 2/4 | 2/4 |

b- Si semanalmente la participación en el mercado fue en la misma proporción ¿ Cual es la participación esperada de la marca C en la 4° semana?
P=7/102/101/101/62/63/602/42/4
p0= 1/31/31/3
Entonces hallaremos p0P3=1/31/31/3x0.40910.30020.29070.18630.38260.43110.12780.40560.4667= 0.24110.36280.3961
A | B | C |
0.2411 | 0.3628 | 0.3961 |

La participación de la marca C es 39.61 %

2- Considerar esta matriz de cambios de marcas :

P=0.70.20.10.30.60.10.10.40.5
a- Las participaciones iniciales por marca son po= 0.100.400.50 ¿ Cuál es la participación esperda por la marca A durante el próximo periodo?

Entonces hallaremos p0P= 0.100.400.50x0.70.20.10.30.60.10.10.40.5= 0.36670.40000.2333
La participación de la marca A es 23.33 %

b- Cual es la ultima participación en el mercado para la marca A, si las probabilidades de cambio permanecen constantes?
Hallaremos la matriz de estados estable

π= πAπBπC
Resolvemos el sistema de ecuacuiones :
0.7πA +0.3πB +0.1πC = πA
0.2πA +0.6πB +0.4πC = πB
πA +πB +πC= 1

Donde :
π= πAπBπC=0.440.390.17
La participación estable para la marca A en el mercado es 44%

3.1- Utilizando la matriz P del problema (2) determinar

a- La probabilidad que A se compre en el periodo t+1, dado que se compró C en t
Nos piden P(Xt+1=A/Xt=C) =pC,A(1) = 0.1
| A | B | C |
A | 0.7 | 0.2 | 0.1 |
B | 0.3 | 0.6 | 0.1 |
C | 0.1 | 0.4 | 0.5 |

b-La probabilidad de A en t+1 dado B en t.
Nos piden P(Xt+1=A/Xt=B) =pB,A(1) = 0.3

c- La probabilidad de B en t+1 y C en t+2 dado A en t
Nos piden P(Xt+1=B,Xt+2=C/Xt=A) =pA,B(1)xpB,C(2) = 0.2x0.14 = 0.028
p2=0.560.300.140.400.460.140.240.460.30
d- La probabilidad de A en t+1 y a en t+2 dado a en t
Nos piden P(Xt+1=A,Xt+2=A/Xt=A) =pA,A(1)xpA,A(2) = 0.7x0.56 = 0.392

3.2- Sedispone de la siguiente información respecto a los habitos de cambio de marca de una muestra de consumidores.
| A | B | C | |
A | 137 | 47 | 19 | 203 |
B | 41 | 179 | 12 | 232 |
C | 22 | 10 | 46 | 78 |
| 200 | 236 | 77 | 513 |
a-

Estas son las compras totales de las marcas A,B,C en 2 ocaciones sucesivas de compras.

b- Matriz de probabilidadesconjunta.
| A | B | C | |
A | 0.267 | 0.092 | 0.150 | 0.396 |
B | 0.080 | 0.349 | 0.023 | 0.452 |
C | 0.043 | 0.019 | 0.090 | 0.152 |
| 0.390 | 0.460 | 0.150 | 1.000 |

c- Matriz de probabilidad condicional.}

| A | B | C | |
A | 0.674 | 0.232 | 0.093 | 1 |
B | 0.177 | 0.772 | 0.051 | 1 |
C | 0.283 | 0.125 | 0.592 | 1 |

¿Cómo se obtuvieron (b) y (c) ?
| A | B | C | |A | 137/513 | 47/513 | 19/513 | 203/513 |
B | 41/513 | 179/513 | 12/513 | 232/513 |
C | 22/513 | 10/513 | 46/513 | 78/513 |
| 200/513 | 236/513 | 77/513 | 513/513 |
(b) se obtuvo

(c) se obtuvo
| A | B | C | |
A | 137/203 | 47/203 | 19/203 | 203/203 |
B | 41/232 | 179/232 | 12/232 | 232/232 |
C | 22/78 | 10/78 | 46/78 | 78/78 |

4- Un biólogo esta observando elcomportamiento de una rana que vive en un pequeño estanque. Hay pequeñas áreas de tierra en el estanque y la rana salta de una a otra de estas áreas los que han sido enumeradas arbitrariamente del 1 al 4. Aunque la rana puede saltar de un área de tierra a cualquier otra, el biólogo ha observado que la probabilidad de saltar de un área a cualquier otra es inversamente proporcional a la distancia, es...