cajeros

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Unidad 12. Ecuaciones de la recta y el plano

UNIDAD 12. ECUACIONES DE RECTA Y PLANO
1. Introducción. Espacio Afín.
1.1.Vector en el espacio. Vector libre y fijo.
1.2.Operaciones con vectores
1.3.Dependencia e independencia de vectores. Base
1.4.Relación entre punto y vector. Coordenadas
2. Ecuaciones de la recta en el espacio
2.1. Ecuación vectorial
2.2.Ecuaciones paramétricas2.3.Ecuación en forma continua
2.4.Ecuación en forma implícita o intersección de dos planos.
2.5.Caso particular. Conociendo dos puntos de la recta.
3. Ecuaciones del plano
3.1. Ecuación vectorial
3.2. Ecuación en paramétricas
3.3. Ecuación general o implícita
3.4. Caso particular conociendo 3 puntos del plano.
4. Posiciones relativas
4.1. Dos planos
4.2. Tres planos
4.3. Recta y plano4.4. Dos rectas

José Luis Lorente Aragón

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Unidad 12. Ecuaciones de la recta y el plano

Contexto con la P.A.U.
Entramos con este tema en el último bloque del libro, la geometría. La importancia de
este bloque en la PAU queda de manifiesto año tras año. En los últimos años uno de los
dos problemas de 2.5 puntos de cada una de las dos opciones es un problema de
geometría.Entramos en el bloque cuyos problemas quizás sean los más complicados del curso, ya
que en muchos casos se requieren una buena visión espacial y de buscar estrategias para
resolver los problemas. Si bien en muchas ocasiones, y casi todas las cuestiones son
“problemas tipo”, como los que vamos a hacer en estos dos temas. Una vez entendido el
problema, y elaborada la estrategia de resolución loscálculos son sencillos, no como los
vistos en el bloque de análisis.

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Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

Unidad 12. Ecuaciones de la recta y el plano

1. Introducción. Espacio Afín
1.1. Vector en el espacio. Vector libre y fijo.
Como hemos estudiado en el tema anterior el conjunto de los vectores del espacio, con
las operaciones de la suma de vectores y elproducto escalar de vector por un número es
espacio vectorial. De hecho la definición matemática de espacio vectorial surge para
interpretar las propiedades de las magnitudes físicas vectoriales (velocidad, aceleración,
fuerza…)
Así (R3,+,·) es espacio vectorial, donde R3={(x,y,z): x,y,z∈R}. El conjunto de los
elementos que forman parte de R3 se llaman vectores en el espacio. Dentro de losvectores distinguiremos entre vectores fijos y libres:
a. Vector fijo de origen A y extremo B, es el segmento orientado caracterizado por
tener las siguientes partes:
- Dirección: es la recta que une los dos puntos o cualquiera paralela
- Sentido: es la orientación que tiene, desde A hasta B
- Modulo: es la longitud del segmento orientado
- Punto de aplicación: el punto A
B
A
Recta dedirección

origen

extremo

AB

Coordenadas de vector fijo: Si A(xa,ya,za), B(xb,yb,zb) son las coordenadas de los puntos
que forman el vector, las coordenadas del vector ሬሬሬሬሬԦ son las que se obtiene restando las
‫ܤܣ‬
coordenadas de B menos las de A:
ሬሬሬሬሬԦ =B-A=(xa,ya,za)-(xb,yb,zb)= (xb-xa, yb-ya, zb-za)
‫ܤܣ‬
Módulo del vector: es igual a la distancia entre A y B. Utilizando Pitágorastendremos
que | AB |= l 2 + ( z b − z a ) 2 = ( xb − x a ) 2 + ( y b − y a ) 2 + ( z a − z b ) 2

José Luis Lorente Aragón

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Unidad 12. Ecuaciones de la recta y el plano

b. Vector libre: Sean los vectores con igual módulo, dirección (situadas en rectas
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
paralelas) y sentido (‫ܣ‬ଵ ‫ܤ‬ଵ , ‫ܣ‬ଶ ‫ܤ‬ଶ , ‫ܣ‬ଷ ‫ܤ‬ଷ …), estos vectores se llaman equipolentes.Todos los vectores equipolentes tienen mismas las coordenadas.
El conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado definen un vector libre ‫ ݒ‬Se
Ԧ.
suele representar como el vector fijo equipolente situado en el origen.

z

B2
B1
A2
B3

A1
A3

r
v

B4
A4

y

x

1.2. Operaciones con vectores libres
Veamos las operaciones más importantes con los vectores.
1.Suma...