CalcDifIntgr Unidad8

Unidad 8
apLiCaCiones de La
integraL i
Objetivos
Al inalizar la unidad, el alumno:
• Utilizará los conceptos de cálculo de áreas y longitud de arco en
coordenadas cartesianas y polares en la resolución de ejercicios.
• Calculará volúmenes de sólidos de revolución.
• Simplificará y resolverá integrales impropias.

Cálculo diferencial e integral 275

Introducción

D

e lo estudiado en launidad seis se tiene que el área de una región se puede
obtener por aproximación, esto es, subdividiendo el intervalo a integrar con
rectángulos cada vez más delgados o haciendo que la partición tienda a un
número grande, dando como consecuencia que el área de cada uno de ellos tienda
a cero, después se procede a sumar las áreas de todos los rectángulos lográndose
una muy buena aproximación del área dela región. La integración no es más que
la abstracción matemática de este proceso y se puede aplicar al cálculo de una
gran variedad de cantidades que se pueden expresar como la suma de un gran
número de términos infinitamente pequeños. Asimismo, con la utilización del
teorema fundamental del cálculo se logra redondear el concepto de integral definida
simplificando con esto su cálculo. Acontinuación examinaremos varios casos en
los que la integración aparece de esta manera de modo natural.

8.1. Cálculo de integrales definidas
Para calcular una integral definida:
• Se aplica la fórmula

∫

b

a

f ( x)dx = F (b) − F (a ) , siendo F(x) una primitiva de f(x).

• Por artificios de cálculo. Cuando se emplea una sustitución para calcular
una integral definida hay dos maneras de hallar suvalor. Primera: los límites de
integración se cambian empleando la sustitución, y una vez calculada la integral se
remplazan dichos valores en la función así calculada para hallar su valor. El segundo
procedimiento es remplazar los límites originales una vez calculada la integral.
Cuando la integración conduce a funciones trigonométricas recíprocas, se debe tener
cuidado en elegir los valoresprincipales de la función.
Nota. Si la función f(x) es discontinua en x = α, con α comprendido entre a y
b, entonces:

∫

b
a

f ( x)dx = lim ∫

α −ε
a

f ( x)dx + ∫

b

α +ε '

si ε y ε ’ tienden a cero.
Si los límites de integración son infinitos se define:

f ( x)dx

∫

∞

a

f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
b

b →∞ a

276 Unidad 8

Ejemplo 1

∫

Determina el valor de

1

−1

(2 x 2 − x3 ) dx

Solución
1
1
2 x3 x 4 
3
2
2
3
x
−
x
dx
=
x
dx
−
x
dx
=
− 
(
2
)
2

∫−1
∫−1
∫−1
4  −1
 3
evaluando los límites de integración resulta
1

Integrando se tiene:

1

  2(1)3 14   2(−1)3 (−1) 4  
 2 x3 x 4 
−
=
− −
(
2
x
−
x
)
dx
=
−

 =


∫−1
4  
4  −1   3
4  3
 3
1

1

2

3

 2 1   2 1  5 11 16 4
=  −  −− −  = + = =
 3 4   3 4  12 12 12 3

Ejemplo 2
Calcula el valor dela integral

∫

3

−2

−

x

e 2 dx

Solución
x
1
Para integrar sea u = − , entonces, du = − dx.
2
2
Multiplicando y dividiendo por −

1
se tiene:
2

 − 2x 
1 3 1 − 2x
e
dx
e
dx
=
−
=
2
e 
∫−2
1 ∫−2 2
  −2
−
2
3

−

x
2

3

evaluando los límites de integración resulta:

 1

−2
−

 −3

 −3


1

 1
− (2.71)  =
= 2  e 2 − e 2  = 2  e 2 − e  = 2  3 − e  = 2  1.5 − e  = 2 1.5
 2


e
 (2.71)





e


 1
= 2
− (2.71)  = 2 (0.22 − 2.71) = 2 (−2.49 ) = −4.97

 4.46

Cálculo diferencial e integral 277

8.2. Cálculo de áreas y longitud de arco en
coordenadas cartesianas y polares
En esta sección se tratará el cálculo de área entre dos curvas en general.
Ilustraremos con algunos problemas el método a seguir.
Sean dos funciones f y g , ambas continuas en unintervalo [a, b] . Si f y g
son ambas positivas y si f ( x) ≥ g ( x) para todo x en [a, b] (véase la figura 8.1), el
área entre las gráficas viene dada por la integral
conocido.

∫

b

a

[ f ( x) − g ( x) ]dx, lo cual ya es

Figura 8.1.
Lo que se necesita ahora es una fórmula que sea aplicable también a la región
representada en la figura 8.2. Aquí, ni f ni g son siempre positivas. Además,...