Calculo 2 - integral indefinida

CÁLCULO
INTEGRALES INDEFINIDAS
Rubén Zárate Rojas
Ingeniero Civil
Ingeniero Industrial
Magíster en Ingeniería Industrial
Magíster en Ingeniería Civil ©

El Problema
Dada una función f(x), hallar otra
función F(x) cuya derivada sea igual a
f(x), es decir F’(x)=f(x)

Ing. Rubén Zárate Rojas

2

Primitiva
Si en todos los puntos del intervalo
[a,b] se verifica que F’(x)=f(x), lafunción F(x) se llama PRIMITIVA de la
función f(x).
Si F1(x) y F2(x) son dos funciones
primitivas de la función f(x) en el
intervalo [a,b], su diferencia es una
constante, es decir F1(x) - F2(x)=C.
Ing. Rubén Zárate Rojas

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Definición
Si la función F(x) es una función
primitiva de la función f(x), la
expresión F(x)+C se llama
INTEGRAL INDEFINIDA de la
función f(x)

Ing. RubénZárate Rojas

4

Definición
Se designa mediante el símbolo

f ( x ) dx = F ( x ) + C
∫
Donde
f(x): integrando
f(x) dx: elemento de integración
C: constante arbitraria
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Propiedades

( ∫ f ( x ) dx ) ' = f ( x )
2. d ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx
1.

3. ∫ d (F ( x ) ) = F ( x ) + C
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Propiedades
4. ∫ ( f1 ( x ) + f2( x ) ) dx = ∫ f1 ( x ) dx + ∫ f2 ( x ) dx
5. ∫ af ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx

1
6. ∫ f ( ax ) dx = F ( ax ) + C
a
7. ∫ f ( x + b ) dx = F ( x + b ) + C
1
8. ∫ f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C
a
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Casos de Integración
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Inmediatas
Sustitución
Trinomio cuadrado
Por partes
Racionales
Irracionales
TrigonométricasExponenciales
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8

I. Inmediata
xn+1
1. ∫ xndx =
+C
n +1
dx
2. ∫
= ln x + C
x

3. ∫ senx dx = − cos x + C
4. ∫ cos x dx = senx + C

5. ∫ sec x dx = tgx + C
2

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9

I. Inmediata
6. ∫ cos ec 2 x dx = − cot gx + C
7. ∫ tgx dx = − ln ( cos x ) + C
8. ∫ cotgx dx = ln ( senx ) + C

ax
x
9. ∫ a dx =
+C
lna
x
x
10. ∫ e dx = e+ C
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10

I. Inmediata
dx
11. ∫
= arc tg x + C
2
1+ x
dx
1
x
12. ∫ 2
= arc tg + C
2
a +x
a
a
dx
1 a+x
13. ∫ 2
=
ln
+C
2
a −x
2a a-x
dx
1 x-a
14. ∫ 2
=
ln
+C
2
x −a
2a x+a
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11

I. Inmediata
15. ∫
16. ∫
17. ∫

dx
1− x2
dx

= arc sen x + C

x
= arc sen + C
a
a2 − x 2
dx
= ln x + x 2 ± a2 + C
22
x ±a

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12

I. Inmediata
18. ∫ senh x dx = cosh x + C
19. ∫ cosh x dx = senh x + C
dx
20. ∫
= tanh x + C
2
cosh x
dx
21. ∫
= −coth x + C
2
senh x

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II. Integración por sustitución
es f(x) y sea
Sea g(x) una función cuyo recorrido es un intervalo I,continua
f(x) una función continua en I. Si g(x) es derivable en sudominio y F(x) es una primitiva de f(x) en I, entonces:

∫ f g ( x ) ⋅ g' ( x ) dx = F g ( x ) + C




Si u = g(x), entonces du = g’(x) dx y

∫ f (u) du = F (u) + C
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II. Integración por sustitución
Técnica de integración por sustitución
•Escoger una expresión para u = g(x).
•Calcular du = g’(x) dx.
•Reemplazar todos los términos en elintegrando original con
expresiones que involucren a u y du.
•Calcular la integral resultante en u.
•Reemplazar todos los términos en u, con la correspondiente
expresión en x.
•Verificar la respuesta por derivación.

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III. Integrales que contienen un
trinomio de segundo grado
A. Integrales de la forma

dx
∫ ax2 + bx + c

Se transforma el denominador en sumao diferencia de cuadrados

dx
1
dx
∫ ax 2 + bx + c = a ∫  b 2 2
x+  ±k


c b2
2
− 2 = ±k
a 4a

2a 

b
Sustitución de:
x+
=t
dx = dt
2a
1
dt
dx
∫ ax 2 + bx + c = a t 2 ± k 2

∫

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III. Integrales que contienen un
trinomio de segundo grado
B. Integrales de la forma

( Ax + B )dx

∫ ax

2

+ bx + c

Transformamos la...