Calculo Integral Indefinida

INTEGRAL DEFINIDA
RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA)
1.-INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo una función continua , es decir, nuestroobjetivo es calcular el área encerrada entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua:
[pic]
Definición: Sea f una función continua en [a,b( tal que f(x) ( 0en el intervalo. El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la llamaremos integral definida de f(x) entre a y b y se designa por [pic] .
Hay que hacer notar que elresultado de [pic]no depende de la variable x ya que se trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un área. Así [pic]=[pic].

2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. [pic]=0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no existe un recinto del que podamos calcular un área.
2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b(, entonces [pic]> 0 y si f(x) < 0 y continua en[a,b(, entonces [pic]< 0.
3. Si a < b < c y f es continua en [a,c(, entonces : [pic]+[pic]=[pic]
Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el área bajo una función que cambia de signo enel intervalo dónde lo estamos calculando, así en el siguiente ejemplo si calculamos directamente [pic]obtendremos 5-3+1 = 3 u2 lo cuál es falso ya que el área correspondiente a la parte negativatambién se debe sumar y no restar. Para evitar esto debemos calcular la integral en cada uno de los intervalos de forma que la función sea siempre positiva o siempre negativa y cambiar de signo a la que lecorresponde la parte negativa: Área =[pic]-[pic][pic]= 5+3+1=9 u2.
4. [pic]+[pic]=[pic]
5. K·[pic]=[pic] Para K un número real cualquiera.
6. Si para cada x ( [a,b( se cumple que f(x) ( g(x),entonces [pic]([pic] .
7. Si f es una función continua en [a,b(, entonces existe c ( [a,b( tal que:
[pic]= f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral)

3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON...