Calculo avanzado

1.- Demostrar que: -a = (-1) a para cada número real a.
Tenemos: (-1) a + a = (- 1) a + 1a neutro mutiplicativo en R
= ((-1) + 1) a distributividad en R
= 0 a inverso aditivoen R
Por lo tanto: (-1) a + a = 0 …… (i) Teorema: X0 =0X =0 (verlo abajo)
Como: a + (-a) = (-a) + a = -a + a = 0 …… (ii) inverso aditivo en R
De (i) y (ii): (-1) a + a = -a + atransitividad de la igualdad
Por lo tanto: (-1) a = -a cancelación de la suma
-a = (-1) simetría de la igualdad
QED

Teorema: Para cada XЄ R, X0 = 0X = 0.Demostración: X0 = X (0 +0) neutro aditivo
X0 = X0 + X0 distributividad
X0 + (-(X0)) = X0 + X0 + (-(X0)) inverso aditivo en ambos miembros
0 = X0 + X0 + (-( X0))inverso aditivo
0 = X0 + (X0 + (-(X0))) asociatividad de la suma en R
0 = X0 + 0 inverso aditivo
0 = X0 neutro aditivo
X0 = 0 simetría de la igualdad
QED

2.-
SeaS un subconjunto aditivo de Sea Z, es decir un subconjunto que contiene al cero, es cerrado con respecto de la suma y tal que el inverso aditivo de un elemento n en S también pertenece a S. demostrarque existe k en N tal que:
S = {nk: n pertenece a Z }.
Demostración:

Sean m, n ϵ S entonces
m+n ϵ S pero n+n ϵ S
y así n+n+n+…+n ϵ S sumando k veces n
n+n+…+n= nk ϵ S además es claroque k ϵ N

sea P ={nk: n no pertenece a Z }. que cumple con las propiedades de S,
y sean p , q ϵ p entonces
p+q ϵ P tomando la misma idea p+p+…+p ϵ P , m veces p,
p+p+…+p=pm entonces m ϵN y p ϵ Z lo cual no es posible
y así p+p+…+p ϵ S
QED

3.- Demostrar que para p, q Є R arbitrarios, la ecuación: x + p = q tiene solución única.
Demostración: x + p = q ------------- (*)x + p + (-p) = q + (-p) sumando el inverso aditivo de p en ambos miembros
x + (p + (-p) ) = q + (-p) asociatividad de la suma en R
x + 0 = q + (-p) inverso aditivo...