Calculo de momentos

4.7 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.
|Momentos y Centros de Masa |

Suponga que cinco masas puntuales ( esto es teórico en realidad ) están situadas sobre una recta
[pic]
Sea [pic]la distancia dirigida ( quiere decir que es en el sentido habitual, si [pic]está a la derecha de [pic][pic]y si [pic]está a la izquierda de [pic][pic])
El momento de[pic]con respecto a [pic]está definido como [pic]o en general con [pic]masas [pic]y el centro de masa del sistema como
[pic]
Ejemplo 1: Si las masa son de 1,3,1,2,4 repectivamente y están localizadas en los puntos (1,0)
([pic] (-2,0) (-3,0) (-[pic] [pic]; este es el punto en que se
equilibraría el sistema si se sostuviera en ese punto con un alfiler esa recta que no
tiene peso y que tiene lasmasa así distribuídas
Si ahora se toman masas puntuales [pic]distribuidas en diferentes puntos del plano [pic]
[pic]

|Momento con respecto al eje y = [pic] |( porque [pic]es la abscisa del punto y por lo tanto la distancia dirigida al eje [pic]) |

|Momento con respecto al eje x =[pic] |( porque [pic]es la ordenada del punto y por lo tanto la distanciadirigida al eje [pic]) |

[pic]=[pic] [pic]= [pic]
( [pic]es sel centro de masa del sistema

Ejemplo 2: masas de 2,2,1,3,1,4 gramos están localizadas respectivamente en los puntos (1,1)
(2,3) (4,6) (-3,1) (-2,-2) (-4,-1) . Encontrar el centro de masa del sistema
[pic][pic]
[pic]
En el punto [pic]se encuentra localizado el centro de masa de este sistema.
Este sería el punto donde seequilibraría, sostenido por un alfiler, el sistema suponiendo que las masas están distribuidas sobre una lámina extremadamente delgada que no tiene peso.
CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA.
La región plana se va a tomar como una lámina bidimensional de densidad [pic]( en g/cm[pic] o kg/m[pic] o lb/p[pic] )
Si una región tiene un ejes de simetría, el centro de masa (si la densidad es uniforme )estará sobre el o los ejes de simetría: Así un circulo tendrá su centro de masa en el centro que es el punto de intersección de los diámetros, un rectángulo en el punto de corte de sus diagonales, o en el punto de intersección de las rectas que bisectan sus lados.
[pic]
Sea la región plana limitada por la curva [pic], las rectas [pic], [pic]y el eje [pic].
Consideremos una partición del intervalo[pic]
Se toma [pic].
Consideremos el [pic]rectángulo. Este tiene como base [pic]y altura [pic].
El centro de masa de un rectángulo como ese está localizado en [pic]

|El momento de un rectángulo con respecto al eje [pic]es |[pic] |[pic] |[pic]|
| | | |y|
|el momento de un rectángulo con respecto al eje [pic]es |[pic] |[pic] |[pic]|
| |[pic] |[pic] | |

Por lo tanto [pic][pic][pic][pic]
Haciendo el razonamiento usual para cuando la norma de la partición tiende a [pic]y para tomar el
límite de cada unade las sumas
[pic][pic], [pic]cuando [pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
Como siempre es mejor tratar de manejar el concepto que usar las ``fórmulas'' porque así se puede adaptar a otro tipo de situación por ejemplo para cuando en la región la curva está dada en términos de [pic]así como el intervalo de integración.
La densidad termina simplificándose al ser uniforme y la expresión de cadadenominador termina siendo el área de la región.

Ejemplo 3: Encontrar el centro de masa de la región limitada por un arco de la función [pic]y el eje [pic]
Tomando el arco para [pic]
[pic]
[pic]que es una respuesta lógica puesto que la recta [pic]es eje de simetría y que [pic]debe quedar más hacia [pic]que hacia [pic]por la forma de la gráfica
Ejemplo 4:Encontrar el centro de masa de la región...