Calculo De Trabajo Con Ayuda De La Integral De¯Nida

C¶alculo de trabajo con ayuda de la integral de¯nida
Vamos a estudiar la aplicaci¶on de la integral de¯nida al concepto de \trabajo".
Si una fuerza constante F act¶ua sobre un objeto desplaz¶andolouna distancia x, a lo largo de una l¶³nea recta,
y la direcci¶on de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el
producto de la fuerza F por elcamino recorrido.
Es decir: W = F ¢ x.
Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede
expresar en forma tan simple.
Consideremos unapart¶³cula P que se desplaza sobre el eje x, desde el punto (a; 0) al punto (b; 0) por medio de
una fuerza f = F(x); x 2 [a; b].
Dividamos el segmento [a; b] en n partes arbitrarias de longitudes ¢x1; ¢x2;: : : ; ¢xi
; : : : ; ¢xn, y tomemos en
cada subintervalo [xi¡1; xi
] un punto arbitrario ti como se muestra a continuaci¶on.35
Figura 7.33:
Cuando la part¶³cula se mueve de xi¡1 a xi
, eltrabajo realizado es aproximadamente igual al producto F(ti)¢¢xi
.
Luego, la suma:
Xn
i=1
F(ti) ¢ ¢xi
nos dar¶a la expresi¶on aproximada del trabajo de la fuerza F en todo el segmento [a; b].
Lasuma
Xn
i=1
F(ti) ¢ ¢xi
representa una suma integral, por lo que si
lim
max ¢xi!0
Xn
i=1
F(ti) ¢ ¢xi
existe, entonces este expresa el trabajo realizado por la fuerza f = F(x) al mover unapart¶³cula de a a b, a lo
largo del eje x.
Se tiene entonces que
W = lim
max ¢xi!0
Xn
i=1
F(ti) ¢ ¢xi =
Z b
a
F(x) dx
siendo F(x) la fuerza aplicada a la part¶³cula cuando ¶esta se encuentra en elpunto cuya coordenada es x.
Si la unidad de fuerza es el kilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la unidad de trabajo es
el kilogr¶ametro. Tambi¶en pueden utilizarse comounidades de trabajo la libra-pie y el gramo-cent¶³metro.
El alargamiento o la compresi¶on de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado
por una fuerza variable. La ley...