Calculo Ejercicios_02 Resueltos

E JERCICIOS RESUELTOS . D ERIVADAS

En los siguientes ejercicios se trata de calcular la tasa de variación de una magnitud cuando se conoce la tasa de variación
de otra magnitud relacionada con ella. En este tipo de ejercicios la “tasa de variación” se interpreta como una derivada y, en la
mayoría de los casos, basta usar la regla de la cadena para obtener lo que se pide. Hay que elegir lasunidades de acuerdo con
los datos del problema; por ejemplo, si un volumen se mide en litros tendremos que medir longitudes con decímetros.
Ejercicio 1. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de
3000 litros por minuto?
Solución
Sea r el radio del cilindro y h la altura medidos en decímetros. Sea V (t) el volumen de agua, medido enlitros (=dcm3 ), que
hay en el cilindro en el tiempo t medido en minutos. La información que nos dan es una tasa de variación
V (t + 1) − V (t) = −3000

litros por minuto

En este tipo de ejercicios la tasa de variación se interpreta como una derivada: V (t) = −3000. Fíjate que V (t + to ) − V (to )
V (to )t, por lo que la interpretación es razonable. El signo negativo de la derivada es obligado ya queel volumen disminuye
con el tiempo. Como el radio es constante pero la altura del agua depende del tiempo, tenemos
V (t) = π r 2 h(t)
y deducimos
V (t) = −3000 = π r 2 h (t)
Por tanto
h (t) = −

3000
π r2

decímetros por minuto

3
metros por minuto.
π r2
Ejercicio 2. Un punto P se mueve sobre la parte de la parábola x = y 2 situada en el primer cuadrante de forma que su
coordenada x estáaumentando a razón de 5 cm/sg. Calcular la velocidad a la que el punto P se aleja del origen cuando x = 9.

Si expresamos las medidas en metros, entonces h (t) = −

Miguel Martín y Javier Pérez (Universidad de Granada)

Ejercicios resueltos capítulo 2

2

Solución
Sean ( x (t), y(t)) las coordenadas, medidas en centímetros, del punto P en el instante t medido en segundos. Nos dicen que
y(t) 0 y que x (t)= y(t)2 . La distancia del punto P al origen viene dada por f (t) = x (t)2 + y(t)2 , por lo que
f (t) =

x (t) x (t) + y(t)y (t)
x ( t )2 + y ( t )2

Lo que nos piden es f (to ) sabiendo que x (to ) = 9. En tal caso ha de ser y(to ) = 3. También conocemos x (t) = 5 (cm/sg). Con
x (to )
5
ello es fácil deducir el valor de y (to ) =
= . Finalmente,
2y(to )
6
f (to ) =

x (to ) x (to ) + y(to )y (to)
x ( t o )2 + y ( t o )2

=

95
45 + 3(5/6)
cm/sg
= √
81 + 9
6 10

Ejercicio 3. Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la
altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha
alcanzado una profundidad de 6 metros?
Solución

R
H

r
h

Expresaremos todas lasmedidas en metros. Si V (t) es el volumen de agua que hay en el
9
depósito en el tiempo t medido en segundos, nos dicen que V (t) =
m3 /sg. Sabemos
103
1
que V (t) = π r (t)2 h(t) donde h(t) es la altura, medida desde el vértice, alcanzada por el
3
agua en el tiempo t y r (t) es el radio de la sección transversal del cono a la distancia h(t)
h
r
desde el vértice. Por semejanza de triángulosdeducimos que
= , de donde, r = r (t) =
R
H
1
1
9
R
π
h(t) = h(t). Luego V (t) =
π h ( t )3 , y V ( t ) =
= h(t)2 h (t). Luego, cuando
H
2
12
4
103
9
1
π
h(to ) = 6, deducimos que
= 36h (to ), esto es, h (to ) = 3 m/sg
1, 146 m/h.
4
103
10 π

Ejercicio 4. El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70 cm3 por minuto. ¿Con qué rapidez está aumentando el
área cuando la longitud del lado es de 12 cm?Solución
Miguel Martín y Javier Pérez (Universidad de Granada)

Ejercicios resueltos capítulo 2

3

Sea V (t) el volumen del cubo, medido en centímetros cúbicos, en el tiempo t, medido en minutos. Si L(t) es la longitud en
V (t)
centímetros del lado en el tiempo t, tenemos que V (t) = L(t)3 , de donde, L (t) =
. Como nos dicen que V (t) = 70
3L(t)2
70
. El área del cubo viene dada por S(t) =...