Calculo Funciones De Una Variable Real

Índex

Capítol 1 - Funcions d'una variable real
1.1 - Conceptes bàsics
1.2 - Operacions amb funcions
1.3 - Funcions elementals
1.4 - Continuïtat
Capítol 2 - Càlcul diferencial
2.1 - Derivades
2.2 - Teorema del valor mig. Intervals de creixement
2.3 - Extrems relatius
2.4 - Convexitat
2.5 - Límits indeterminats. Regles de l’Hôpital
Taula de derivades:
Passos a seguirper a fer l’estudi d’una funció
Passos a seguir per a optimitzar una funció
Capítol 3 – Càlcul integral
3.1 – Integral de Riemann
3.2 – Primitives
3.3 – El teorema fonamental del càlcul
 Integració per parts
 Mètode del canvi de variable
 Funcions trigonomètriques
 Funcions racionals
3.4 – Aplicacions de la integral
3.5 – Taula d’integrals immediates
Capítol 4:Equacions diferencials
4.1 – Noció d’equació diferencial
4.2 – Equacions diferencials de primer ordre
a) Equacions diferencials amb variables separades
b) Equacions diferencials homogènies de primer ordre
c) Equacions diferencials lineals de primer ordre
4.3 – Equacions diferencials d’ordre arbitrari
4.4 – Equacions diferencials lineals homogènies a coeficients ct
4.5 –Mètode dels coeficients indeterminats

Capítol 1 - Funcions d'una variable real
1.1 - Conceptes bàsics
Definició:
Una funció real d’una variable real és una aplicació entre dos subconjunts del conjunt dels nombres reals, R.
* Domini de la funció: subconjunt de la recta R més gran on la funció es pot aplicar.
* Imatge de la funció: subconjunt de R format per totes les imatges delselements del domini.
Ex:
f(x) = x2 en D = (0, 3) Im (f(x)) = f(d) = (0, 9)
Una funció f és:
* Injectiva: si cada element del domini té una imatge diferent als altres elements. Per tant, f(a1) = f(a2) a1 = a2
* Exhaustiva: si cada element de R és imatge d’algun element del domini.
* Bijectiva: Injectiva i Exhaustiva alhora.
1.2 - Operacions amb funcions
* Composició de duesfuncions: [g o f](x) = g(f(x))
* [g o f](x) != [f o g](x)
* Pot ser que D de una de les composicions no existeixi encara que existeixi D de f(x) i D de g(x).
* A partir d'una funció f es pot definir la seva inversa per la composició:
f-1(f(x)) = x
La funció no podrà ser injectiva o haurem d’agafar la part que si que ho sigui per a poder fer la seva inversa
Ex: de f(x) = x2agafar només D = (-∞,o] (en aquest cas la inversa
seria x ja que al substituir ens dona x).
1.3 - Funcions elementals
1) Funcions algebraiques:
Són les que podem expressar mitjançant operacions bàsiques com la suma, resta, quocient, multiplicació i arrel quadrada amb un nombre finit d’elements. Destaquen:
* Polinòmiques:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
* Racionals:quocient de polinòmiques.

2) Funcions exponencials:
Si “a” pertany a R i és positiva, la funció exponencial amb base “a” és: f(x) = ax.

* La inversa de la funció exponencial f(x) = ax es diu logaritme en base a:
f-1(x) = loga(x)
En el cas de la exponencial amb el nombre e, es diu logaritme neperià.
Per tant, podem assegurar que:
loga ax = a ; a loga x = x ; ln ex = x ; eln x = x* Relació entre logaritmes:
logax = lnxlna
* Si tenim dues funcions tal que: limx→∞fx=limx→∞gx=∞
aleshores:
* Si limx→∞f(x)g(x)=c es diu que tenen el mateix ordre de creixement a l’infinit.
* Si limx→∞f(x)g(x)=0 vol dir que g(x) creix més ràpid que f(x).
Per dues funcions exponencials f(x) = ax i g(x) = bx, creixerà més ràpidament f(x) si a > b i viceversa.
En canvi duesfuncions logarítmiques f(x) = logax i g(x) = logbx tenen el mateix creixement a l’infinit.
Per tant: ordre creixement exponencials > oc polinòmiques > oc logarítmiques
3) Funcions trigonomètriques:
2πrad = 360º

* sin α = bR ; cos α = aR ; tg α = ba = sinαcosα
* sec α = Ra = 1cosα ; cosec α = Rb = 1sinα ; cotg α = ab = cosαsinα...