calculooooo

Universidad de Concepci´n
o
Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa
a
Dr. Raimund B¨rger
u
Profesor Titular

An´lisis Num´rico III
a
e(C´digo 525442)
o
Tarea no. 1 — lunes 13 de septiembre de 2010
Fecha de entrega: jueves 23 de septiembre de 2010, 14.10.
NO se aceptar´n tareas entregadas fuera de plazo.
a
Problema 1. Aplicar elm´todo de Euler expl´
e
ıcito, el m´todo de trazado poligonal mejorado
e
y el m´todo de trazado poligonal modificado al problema
e
y = y,

y(0) = 2,

0 ≤ x ≤ 1,

(1)

para calcular tresdiferentes aproximaciones a y(1) usando h = 0.1. Comparar el resultado
con la soluci´n exacta.
o
Problema 2. Demostrar que el orden de consistencia del m´todo de Heun
e
0
0
0
0
1/2 1/2 0
0
1−1 2
0
1/6 2/3 1/6
y del m´todo cl´sico de Runge-Kutta
e
a
0
0
0
0
0
1/2 1/2 0
0
0
1/2 0 1/2 0
0
1
0
0
1
0
1/6 1/3 1/3 1/6
es p = 3 y p = 4, respectivamente. Aplicar ambos m´todosal problema (1).
e
Problema 3. Verifique que los m´todos de Adams-Bashforth y Adams-Moulton efectivae
mente poseen los ordenes de consistencia se˜alados en los marcos (1.63) y (1.67).
n
Problema 4.Supongamos que la funci´n f = f (x, y) satisface una condici´n de Lipschitz
o
o
con respecto a y con la constante L. Demostrar que el m´todo cl´sico de Runge-Kutta,
e
a
aplicado al PVI de laEDO
y = f (x, y),

x > 0;

y(0) = y0

(2)

satisface las suposiciones del Teorema 1.1. (Aviso: demostrar sucesivamente que las cantidades k1 , k2 , k3 y k4 son Lipschitz-continuas con respectoa y.)

Problema 5. Resolver numericamente el problema
x2 + 2x + 3
,
(x + 1)3
y(0) = 1,

y(x) + y (x) =

x ∈ [1, 5],

y (0) = 0
utilizando el m´todo de Euler impl´
e
ıcito con h = 0.5,h = 0.25 y h = 0.1. Comparar con la
soluci´n exacta. ¿Los resultados num´ricos confirman que el m´todo es de primer orden?
o
e
e
Problema 6. Para la aproximaci´n de la EDO y = −y se propone...