Calidad

Universidad Politécnica de Madrid–Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales

Matemáticas de la Especialidad
Ingeniería Eléctrica

Fundamentos de los
Métodos Numéricos en la Ingeniería

José Luis de la Fuente O’Connor
jldelafuente@etsii.upm.es
joseluis.delafuente@upm.es
Clase_fundamentos_2013.pdf
1/83

Índice
Conceptos básicos
Sistemas de numeración
Representación de unnúmero en formato estándar
IEEE
Aritmética en un ordenador
Evaluación de errores
Error de cancelación
Errores en algoritmos
ı Solución de una ecuación cuadrática
ı Aproximación de la derivada
ı Una suma de infinitos sumandos
ı Polinomios de Wilkinson
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Conceptos básicos
Las operaciones numéricas más elementales y frecuentes que
hacemos con los ordenadores y máquinas a nuestroalcance son las
que mejor hay que conocer y ordenar, pues son la posible fuente de
muchos problemas cuando desarrollamos métodos numéricos.
Empecemos ilustrando lo dicho mediante el calculo de algo tan
habitual como el valor de un polinomio,
p.x/ D 2x 4 C 3x 3

3x 2 C 5x

1;

en un punto cualquiera, por ejemplo x D 1=2.
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Supongamos que toda la información de esta operación latenemos
adecuadamente guardada y que podemos acceder a ella; la primera
forma que se nos puede ocurrir de evaluar el polinomio en el punto
dado1del sería
p

1
2

D2

1
2

1
2

1
2

1
2

C3

1
2

1
2

1
2

3

1
2

1
2

C5

1
2

1 D 5.
4

El número total de multiplicaciones que se realizan es 10, además
de 4 sumas/restas.

1

El método,implícitamente, es una permanente elección entre la dirección de Gauss-Newton y la de máxima
pendiente, o alguna entre ambas. seguiremos la notación de Matlab para la multiplicación,

4/83

Otra segunda forma, más eficaz, consiste en hacer lo siguiente
1
2
1 2
2
1 3
2

1
2

D

1
2

D

1
2

D

1 2
2
1 3
2
1 4
2

D

1
4

y luego
p

1
2

D2

1 4
2

C3

1 3
23

1 2
2

C5

1
2

1 D 5.
4

El número total de multiplicaciones en este caso es 3, para las
1
potencias de 2 , más 4 después. Las sumas y restas son las mismas.
Es evidente que si esto hay que hacerlo muchas veces, el ahorro en
tiempo puede ser significativo, ¿no?
5/83

¿Se puede hacer mejor aún? Consideremos el polinomio reescrito
así:
2
3
p.x/ D

1Cx 5

3x C 3x C2x

D

1Cx 5Cx

3 C 3x C 2x 2

D

1Cx 5Cx

3 C x 3 C 2x

D

1Cx

5Cx

3Cx

3Cx

2

y evaluémoslo de dentro afuera
1
2
1
2
1
2

2; más 3 D 4
4; más

3D

. 1/; más 5 D
1
2

9
;
2

más

1

9
2

1 D 5:
4

Esta forma se conoce como regla de Horner. Necesita aquí 4
multiplicaciones y 4 sumas. Si el polinomio es de grado d se
necesitarán dmultiplicaciones y d sumas.
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Este ejemplo es paradigmático en lo que vamos a destacar en este
curso:
Los ordenadores son muy rápidos haciendo cosas muy sencillas.
Las cosas muy sencillas, sobre todo las que se repiten
indefinidamente, hay que hacerlas eficazmente y muy bien.
La mejor forma de hacer ciertas cosas y cálculos no siempre es la
más obvia.

La mayoría de las ideas fundamentalesde la ciencia son
esencialmente sencillas y, por regla general, pueden ser
expresadas en un lenguaje comprensible para todos.
Albert Einstein. 1879-1955.
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Para terminar con el polinomio, cualquiera de ellos en forma
estándar c1 C c2x C c3x 2 C c4x 3 C c5x 4, se puede escribir
c1 C x c2 C x c3 C x c4 C x.c5/

;

forma denominada anidada, e incluso, así
c1 C .x

r1/ c2 C .xr2/ c3 C .x

r3/ c4 C .x

r4/.c5/

;

en la que r1, r2, r3 y r4 son puntos de base.
Este script de Matlab hace el trabajo de Horner en general.
function y=Horner(d,c,x,r)
% Evalúa el polinomio de grado d, definido en c, en x,
%
usando la regla de Horner.
%
Entrada: c(d+1), coeficientes del polinomio: c1, c2,...;
%
x, punto en el que se avalúa el polinomio
%
r, puntos base, si...