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Cap´ ıtulo 4 EL TEOREMA ESPECTRAL Y LAS FORMAS CUADRATICAS

Espacios con Producto Interno. Bases En lo que sigue V ser´ un espacio vectorial sobre el campo de los a n´meros reales. Con algunas modificaciones, lo que se expone a conu tinuaci´n puede extenderse a un espacio vectorial complejo. o Consideremos los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) en R3 . Estos vectores tienen las cualidadesde que, primero son unitarios, es decir que su longitud es 1 y adem´s son dos a dos perpendiculares. Sucede a que est´s dos propiedades pueden caracterizarse a trav´s del “proa e ducto escalar” de vectores o “producto interno”: Si X = (x1 , x2 x3 ), Y = (y1 , y2 , y3 ) entonces < X, Y >= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . Se tiene en efecto que si denotamos por ||X|| la longitud del vector X entonces ||X|| =x2 + x2 + x2 y por tanto ||X||2 =< X, X >. 1 2 3 Adem´s la perpendicularidad de E1 con E2 , por ejemplo, esta reflejada a y determinada por el hecho de que < E1 , E2 >= 0. Esto da un procedimiento simple de c´lculo de coordenadas, en la base, de un vector a dado. As´ por ejemplo si X = a1 E1 + a2 E2 + a3 E3 y nos piden calcular ı a1 , a2 , a3 hacemos el siguiente proceso, por ejemplo para a1 < X,E1 > = = = = = < a1 E1 + a2 E2 + a3 E3 , E1 > < a1 E1 , E1 > + < a2 E2 , E1 > + < a2 E2 , E1 > a1 < E1 , E1 > +a2 < E2 , E1 > +a3 < E3 , E1 > a1 ||E1 || + 0 + 0 a1

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Algebra Lineal

Aqu´ estudiaremos los espacios en donde esto es posible (espacios con ı producto interno) y lo usaremos para facilitar el graficado de formas cuadr´ticas. a 4.1 Definici´n: o Sea V un espacio vectorialsobre R. Una forma bilineal V ×V → R se dice un producto interno (o multiplicaci´n por escalar) si o (usando la notaci´n X · Y →< X, Y >): o PI1 < X, Y >=< Y, X >, ∀X, Y ∈ V . PI2 < X, X >≥ 0. PI3 < X, X >= 0 si y s´lo si X = 0. o (La propiedad de ser bilineal la enumeramos P I0). Note que por ser < , > bilineal se tiene que < 0, X >=< X, 0 >= 0. En lo que sigue consideramos un espacio con productointerno V . 4.2 Proposici´n: o La funci´n V → R; X → o decir: N.1 ||X|| ≥ 0, ∀X ∈ V . N.2 ||X|| = 0 si y s´lo si X = 0. o N.3 ||kX|| = |k| ||X||, ∀k ∈ R, ∀X ∈ V . N.4 ||X + Y || ≤ ||X|| + ||Y ||. Demostraci´n: o Las primeras tres propiedades son obvias. Demostremos la cuarta. Para ello notemos lo siguiente: 4.3 Lema: | < X, Y > | ≤ ||X|| · ||Y ||.
|| ||

√

< X, X > es una norma en V , esCap´ ıtulo 4. El Teorema Espectral y las Formas Cuadr´ticas a

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Demostraci´n: o Si X o Y son cero los dos lados de la igualdad son cero. As´ que ı podemos suponer los vectores no cero. Por P.I.2 se recibe 0 ≤< X − < Y, X > < Y, X > Y, X − Y > < Y, Y > < Y, Y > < Y, X > < Y, X > − < Y, X > +||Y ||2 < Y, Y > < Y, Y > < Y, X > < Y, Y >
2

= ||X||2 − =

||Y ||2 ||X||2 − 2 < Y, X >2 + < Y,X >2 ||Y ||2

simplificando y pasando al otro lado de la desigualdad se tiene < Y, X >2 ≤ ||Y ||2 + ||X||2 lo cual implica el lema 2 Veamos ahora la demostraci´n de N.4: o ||X + Y ||2 = = = ≤ = < X + Y, X + Y > < X, X > + < X, Y > + < Y, X > + < Y, Y > ||X||2 + 2 < X, Y > +||Y ||2 ||X||2 + 2||X|| ||Y || + ||Y ||2 (||X|| + ||Y ||)2

As´ pues ||X + Y || ≤ ||X|| + ||Y || 2 ı 4.4 Corolario: SeanX, Y ∈ V , X = 0 = Y . Entonces −1 ≤ < X, Y > ≤1 ||X|| ||Y || 2

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Algebra Lineal

Note que en el caso de R2 la ley del coseno afirma que

||X − Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2 − 2||X|| ||Y ||cosθ. Pero ||X − Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2 − 2 < X, Y >. Por tanto cosθ = < X, Y > ||X|| ||Y ||

< X, Y > est´ entre −1 y 1 pensamos de a ||X|| ||Y || ´l como el coseno de un ´ngulo, el cual comogeneralizaci´n ser´ el e a o a ´ngulo entre Xy Y a´n cuando para dimensiones mayores no tenga a u sentido geom´trico y tampoco lo tenga en espacios abstractos. e Como en el caso general 4.5 Definici´n: o i Si X = 0 = Y en V entonces se llama el ´ngulo entre X y Y a al n´mero real 0 ≤ θ ≤ π tal que u cosθ = < X, Y > ||X|| ||Y ||

ii Si cosθ = 0 se dice que X y Y son ortogonales o perpendiculares y se...