Campo electrico en un medio material

El campo eléctrico en un medio material. Supongamos un par de superficies conductoras arbitrarias con densidades superficiales de carga + σ y − σ . Además, ahora consideraremos a ambas superficies conductoras embebidas en un medio material , es decir, diferente del vacío. Evidentemente, las cargas en las superficies conductoras producirán un campo eléctrico Eext . Este campo eléctrico provocaráuna polarización en los átomos y moléculas que componen al material circundante, ya que cada entidad atómica (molecular) está formada de electrones (cargas negativas) y núcleos positivos, como lo muestra la siguiente figura:

+

-

Eext

+

-

Átomo polarizado

Dipolo atómico

A este desplazamiento relativo de cargas positivas y negativas a nivel atómico lo podemos representar comoun dipolo atómico, como se muestra esquemáticamente arriba. Imaginemos ahora a los dos conductores cargados embebidos en el medio material junto con la reacción de los átomos y moléculas que lo componen al polarizarse:

Campo de polarización P Campo externo Eext

1

En la figura (a) se muestran esquemáticamente un número de dipolos atómicos inducidos por el campo externo. Nótese que en lassuperficies de los conductores los dipolos tienen una carga opuesta a la de la superficie. En este esquema también puede verse que la carga total dentro del material es cero (excepto en las superficies). El efecto neto debido a la reacción del medio frente al campo externo es la generación de un campo eléctrico debido a las cargas polarizadas del medio en la superficie. Este campo es el campo depolarización, P , que es opuesto al campo externo Eext . Si tomamos una superficie gaussiana que incluya parte de la superficie de uno de los conductores como se muestra: ++ ++ ++++ + + + Según la Ley de Gauss, para la superficie gaussiana mostrada (el campo es cero dentro del conductor): P Eext

(Eext − P) A =

Qenc

ε0

(1)

con Qenc = Qc − QP , donde Qc es la carga encerrada sobre lasuperficie conductora y QP la carga encerrada de polarización del medio en la superficie.

A en la ec.(1) es el área de la tapa de la superficie gaussiana, por lo que la ec.(1) puede escribirse como: Eext - P =

σc −σ P ε0

(2)

en términos de las densidades superficiales de carga del conductor y de polarización. Como puede verse de las ecs. (1) y (2), el campo eléctrico total está dadopor: Etot = Eext - P (3)

por lo que, reescribiendo la ec. (1) en términos de Etot :

ε 0 Etot A = Qc - QP
o sea que:

(4)

(5) pero la carga encerrada QP se debe solamente al flujo del campo de polarización P , por lo que podemos escribir: QP = P A ε 0 y por tanto la ec. (5) queda: (6)

ε 0 Etot A+ QP =Qc

2

ε 0 (Etot +P) A = Qc

(7)

Sin pérdida de generalidad, la ecuaciónanterior la podemos escribir en términos del flujo eléctrico total como:
ˆ ε 0 ∫ (E + P) • ndS = Qc .
tot

(8)

Ahora bien, el campo de polarización es en general dependiente del campo total ( los electrones en un átomo del material estarán sujetos al campo externo total formado por el campo Eext original como al de los dipolos inducidos a su alrededor, es decir, P .) . En general, para un medioque responde linealmente al campo total, el campo de polarización se puede representar como: P = χ ε 0 Etot (9)

donde la constante de proporcionalidad χ se conoce como la susceptibilidad del medio, e indica qué tan fácil o no es polarizar al medio. Generalmente se define un vector auxiliar , llamado "vector desplazamiento" como: D = ε 0 Etot + P (10)

y sirve para interpretar el significadofísico del campo total Etot , ya que, despejando este vector de la ecuación anterior: Etot = D/ ε 0 - P/ ε 0 (11)

es decir, el campo total se debe al campo D debido a los conductores menos el campo de polarización P. Por tanto la ec. (10) puede escribirse como: D = ε 0 Etot + χ ε 0 Etot = ε 0 (1+ χ )Etot (12)

La permitividad del medio se define entonces como:

ε = ε 0 (1 + χ )

(13)...