Campos Conservativos

CAMPOS CONSERVATIVOS
Seanlos dos campos vectoriales siguientes: ˆ A = −(2ax + 3x 2 z2 ) ˆ − (2by + 3y 2 z4 ) ˆ − (2x 3 z + 4y 3 z3 ) k i j  ⎛ 1 ⎞ ˆ B = ⎝ x 2 y + y 3 ⎠ iˆ + ( x 3 + 3y 2 x ) ˆ + z3 k j 3 a) ¿Cuál corresponde a un campo de fuerzas conservativo y cuál a un campo de velocidades del aire en la atmósfera terrestre alrededor de un centro de bajas presiones? b) Para el campo defuerzas conservativo ¿cuál es el campo de energía potencial del cual deriva? Solución: I.T.T. 96, 01, 05 a) Un campo de fuerzas conservativo presenta un rotacional nulo mientras que en los alrededores de un centro de bajas presiones la corriente de aire circula rotando alrededor de este centro dando lugar a un campo de velocidades cuyo rotacional no será    nulo. Por lotanto si calculamos elrotacional de los dos campos que nos dan: ∇ × A = 0 , ∇ × B ≠ 0 , con lo cual queda claro que A hace referencia al campo de fuerzas conservativo.  b) El campo conservativo A será igual a menos el gradiente de un campo de energía potencial Φ , por lo tanto se verificará que:

∂Φ = − Ax = 2ax + 3x 2 z 2 ∂x

⇒

Φ( x,y,z) = ax 2 + x 3 z2 + f ( y,z)

Donde f ( y,z) es una función que no dependede x y que por lo tanto actúa de constante a la hora de hacer la integración respecto de x. La función f ( y,z) la podemos determinar estudiando la derivada respecto a y:
∂Φ = − Ay = 2by + 3y 2 z4 ∂y ⇒ ∂f = 2by + 3y 2 z 4 ∂y ⇒ f ( y,z) = by 2 + y 3 z 4 + g(z)

Para determinar g(z) recurrimos al estudio de la derivada respecto de z:

∂Φ = − Az = 2x 3 z + 4y 3 z3 ∂z

⇒

∂g =0 ∂z

⇒g(z) = C (constante)

Con lo cual la expresión final para Φ será:

Φ( x,y,z) = ax 2 + x 3 z 2 + by 2 + y 3 z4 + C

 ⎡ 1 ⎤ 1ˆ Averiguar si el campo A = ⎢ y cos( xy) + ⎥ ˆ + x cos( xy) ˆ + k es conservativo. i j x ⎦ z ⎣

Física

Tema

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Solución: I.T.I. 98, I.T.T. 99, 02 Si se tratase de un campo conservativo debería presentar un rotacional nulo:

ˆ i   ∇×A= ∂ ∂x Axˆ j ∂ ∂y Ay

ˆ k ⎛ ∂A ∂Ay ⎞ ˆ ⎛ ∂Ax ∂Az ⎞ ˆ ⎛ ∂Ay ∂Ax ⎞ ˆ ∂ = ⎜ z − i + ⎜ − − k=0 ⎟ j + ⎜ ⎝ ∂z ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ∂z ∂z ⎟ ∂x ⎠ ∂y ⎟ Az

⇒

 A es un campo conservativo

 ˆ Demostrar que el campo A = (6xy + z3 ) ˆ + ( 3x 2 − z) ˆ + ( 3xz 2 − y ) k es irrotacional. Hallar Φ i j   de tal forma que A = ∇Φ

Solución: I.T.I. 06, I.T.T. 95, 03, 06, I.I. 94 Un campo conservativodebe presentar un rotacional nulo:

iˆ   ∂ ∇× A= ∂x Ax

ˆ j ∂ ∂y Ay

ˆ k ⎛ ∂Az ∂Ay ⎞ ˆ ⎛ ∂Ax ∂Az ⎞ ˆ ⎛ ∂Ay ∂Ax ⎞ ˆ ∂ = ⎜ − − ⎟ j + ⎜ − ⎟ i + ⎜ ⎟ k = 0 ⎝ ∂z ∂z ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ Az

 El campo conservativo A será igual al gradiente de un campo escalar Φ , por lo tanto se verificará que:

∂Φ = Ax = 6xy + z 3 ∂x

⇒

Φ( x, y,z) = 3x 2 y + xz 3 + f ( y,z)Donde f ( y,z) es una función que no depende de x y que por lo tanto actúa de constante a la hora de hacer la integración respecto de x. La función f ( y,z) la podemos determinar estudiando la derivada respecto a y:
∂Φ = Ay = 3x 2 − z ∂y ⇒ ∂f = −z ∂y ⇒ f ( y,z) = − yz + g(z)

Para determinar g(z) recurrimos al estudio de la derivada respecto de z: € ∂Φ ∂g = Az = 3xz 2 − y ⇒ = 0 ⇒ g(z) = C(constante) ∂z ∂z
Física Tema Página 2

Con lo cual la expresión final para Φ será:

Φ( x,y,z) = 3x y + xz − yz + C

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 ˆ Demostrar que el campo A = (yz − y 2 + 2xz) iˆ + ( xz − 2yx ) ˆ + ( xy + x 2 ) k es conservativo. j Encontrar el campo escalar del cual deriva.

Solución: I.T.T. 97, 00, 04 Un campo conservativo debe presentar un rotacional nulo:

iˆ   ∂ ∇× A= ∂x Ax

ˆ j ∂ ∂yAy

ˆ k ⎛ ∂A ∂Ay ⎞ ˆ ⎛ ∂Ax ∂Az ⎞ ˆ ⎛ ∂Ay ∂Ax ⎞ ˆ ∂ = ⎜ z − − ⎟ j + ⎜ − ⎟ i + ⎜ ⎟ k = 0 ⎝ ∂z ∂z ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ Az

 El campo conservativo A será igual al gradiente de un campo escalar Φ , por lo tanto se verificará que:

∂Φ = Ax = yz − y 2 + 2xz ∂x

⇒

Φ( x,y,z) = xyz – y 2 x + x 2 z + f ( y,z)

Donde f ( y,z) es una función que no depende de x y que por...