CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS

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CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS

DEFINICION DE CAMPO VECTORIAL.
Sean M y N funciones de las variables x e y definidas en una región R del plano. La función definida por
( , )=
+
se llama campo vectorial en la región R.
Un ejemplo de este tipo de campo vectorial, es el relacionado con las velocidades lineales o tangenciales en un
movimiento circular ( =
) donde v es la velocidad tangencial y wes la velocidad angular.

Campo de velocidades

campo movimiento de un fluido

Sean M, N , P funciones de las variables x , y , z definidas en una región solido Q en el espacio. Una función
( , , )=
+
+
se llama campo de vectores
en Q.
La fuerza de atracción gravitacional entre dos masas
diferentes es un buen ejemplo de campo vectorial
tridimensional. La fuerza en todos los puntos de una
esferadonde se encuentre una de las masas tiene la
misma fuerza con respecto a la masa en e l origen.

Un campo vectorial :
y solo si

=

.

→

definido mediante la función ( , ) =

+

se dice que es conservativo si

2
Ejemplo. Diga los campos vectoriales definidos por la función ( , ) =
1)

( , )=

+3

+

comparándola con la función ( , ) =

=

son conservativos.
+

se tiene que

=3
=0

=0

Como lasderivadas parciales son iguales, se tiene que el campo es conservativo.
2)

( , )=

+

comparándola con la función ( , ) =

=
=

1
2

=

1
2

+

se tiene que

1
4

1
1
= (2 ) =
4
2

Como las derivadas parciales son iguales, se tiene que el campo es conservativo
3)

( , ) = (2

+

)

comparándola con la función ( , ) =

=
=

1
4

=

1
4

+

se tiene que

1
8

1
1
= (2 ) =
8
4
≠

Como las derivadasparciales NO son iguales, se tiene que el campo vectorial NO es conservativo
Un campo vectorial :
conservativo si y solo si

→

definido mediante la función ( , , ) =

=

=

;

;

+

+

, comparándolo con la

se dice que es

=

4) Sea el campo vectorial definido por la función ( , , ) =
función ( , , ) =
+
+
,
:

=

+

=

+

=

Ahora, las derivadas parciales son:

=

=

De las derivadas vemos que=0

;
≠

=0 ;

=0

con los que el campo NO es conservativo

=0

3
5) Sea el campo vectorial definido por la función ( , , ) =
comparándolo con la función ( , , ) =
+
+
,

=

+2
:

=2

+3

,

=3

Ahora, las derivadas parciales son:

=2

=3

=6

=2

;

=6

;

=3

De las derivadas parciales vemos que las igualdades

=

si

=

;

;

=

se cumplen todas, luego el campo vectorial es conservativo
Si ( ) =( ) + ( ) + ( ) es un vector posición, el campo de vectores F es campo cuadrático
inverso, es decir ( ,

)=

‖

‖

⃗ donde k es un escalar y ⃗ es el vector unitario en la dirección del

vector posición.
ACTIVIDAD. Diga si los siguientes campos vectoriales son conservativos:
1)

( , ) = (3

3) ( , , ) = (3
4)

( , , ) = (2

5) ( , , ) = (2

) + (3 − 4

−2
+2

) + (2

+2

)
+6

) + (2

2) ( , ) =(
) + (2

) +(

+6

− 3) − (

+

+3

) − (2

) +(

+6

−2

)

−2 )
)

+
− 2)

DEFINICION DE ROTACIONAL. Sea un campo vectorial definido mediante la función ( , , ) =
+
+
se define el rotación del campo, denotado por
, como el producto vectorial entre el
operador nabla ∇ y la función vectorial F, es decir
= ∇×

=

=

−

−

−

+

−

4

Observe, que el rotacional de un campo vectorial es un vector.6) Encontrar el rotacional del campo vectorial definido por ( , , ) =

+2

+3

De la función que define el campo vectorial tenemos que

=

=2

=3

Ahora, las derivadas parciales son:

=0

=

=2

;

=2

=3

;

=0

De la definición de rotacional tenemos
=

−

−

−

+

= (3 − 2 ) − (0 −

−

) + (2 − 0)

= (3 − 2 ) + (
El rotacional en el punto ( 2 , -3 , 4 ) es el vector:

) + (2 )

= (3(4) − 2(2)) +(2 ) + (2(4))
= 8 +4 +8
7) Sea el campo vectorial definido por ( , , ) =
vectorial en el punto ( 2 , 3 , 2) .

=

( + + ) Determine el rotacional del campo

=

=

Ahora, las derivadas parciales son:

=

=

=

;

=

=

;

=

De la definición de rotacional tenemos
=

−

=

−
1

−

1

−

−

1

−

+
1

+

−
1

−

1

5
El rotacional en el punto ( 2 ,-3 , 2 ) es el vector:
=

1 1
−
3 2

1 1
−
2 2

−...