Cap_tulo_III_Cinem_tica_en_dos_dimensiones 2

Cinemática 2
dimensiones
Introducción a la Mecánica

Nelson Zamorano Hole

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile

III

Cap´ıtulo III

CINEMATICA EN DOS
DIMENSIONES
III.1.

VECTORES

III.1.1.

Representaci´
on de vectores en dos dimensiones

Hasta ahora hemos descrito el movimiento en una dimensi´on. En este caso basta una
coordenada para identificar la posici´on de unpunto. Obviamente, en dos dimensiones
necesitamos dos n´
umeros para localizarlo. Por ejemplo, para ubicar una calle en el mapa
de la gu´ıa de tel´efonos se dispone de dos datos, una letra y un n´
umero; con la letra
se ubica la posici´on en el eje vertical y con el n´
umero, la posici´on del bloque en el eje
horizontal. En otras palabras, al usar [A–16] como una coordenada, estamos identificandolas letras del alfabeto con la l´ınea vertical (ordenada) del mapa y los n´
umeros con la
coordenada horizontal (abcisa).
Para precisar la posici´on de un punto en el plano, debemos recurrir a un par de
n´
umeros reales. Necesitamos dar los dos n´
umeros como un par ordenado para identificar
su significado sin ambig¨
uedades. Por convenci´on, el primer n´
umero corresponde a la
abcisa (ejehorizontal) del punto a identificar y el segundo n´
umero a la ordenada (eje
vertical). Usualmente, el punto con sus coordenadas respectivas se escribe como P(x,y).
La recta que une el origen O con el punto P, se denomina el vector OP, se escribe
−→

OP , y contiene informaci´on acerca de la direcci´
on, sentido y magnitud del vector.
La direcci´
on es la l´ınea que atraviesa los puntos O y P de laFigura, el sentido es
la flecha que se instala en el extremo del trazo y la magnitud, es el largo del trazo, que
tambi´en se denomina el m´odulo del vector.
La magnitud o m´odulo de un vector se indica mediante dos barras verticales a cada
−→

uno de los lados del vector: | OP |. El m´odulo (o largo) del vector, es un n´
umero que se
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CAP´ITULO III. CINEMATICA EN DOS DIMENSIONES

Figura III.1:Componentes Cartesianas de un vector. La proyecci´on del vector en el eje
x es la sombra que proyecta sobre dicho eje al trazar una perpendicular al eje x desde el
extremo del vector. Lo mismo es v´alido para la proyecci´on sobre el eje y.
obtiene usando el teorema de Pit´agoras:
−→

| OP | ≡ [x2P + yP2 ]1/2

Figura III.2: Representaci´on gr´afica de distintos vectores. En cada uno de ellos seindica
una de las caracter´ısticas de un vector: magnitud, direcci´on y sentido.
La magnitud de un vector es siempre un n´
umero real positivo. Dadas las coordenadas
de los dos puntos extremos de un vector: (xA , yA ), (xB , yB ), su valor se calcula de la
siguiente forma:
−→

| AB |= (xB − xA )2 + (yB − yA )2

1/2

.
−→

donde (xB − xA ) representa la sombra que proyecta el vector AB sobre el eje–x.An´alogamente, yB − yA es la proyecci´on de este vector sobre el eje–y.
Esta es la forma gr´
afica de representar un vector: mediante una flecha. Otra forma
de identificarlo, es a trav´es de las coordenadas de sus puntos extremos: forma anal´ıtica.
Este m´etodo se define a continuaci´on.

III.1. VECTORES

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Un vector se representa por un par ordenado de n´
umeros. En el
primer casillero seinserta la proyecci´on del vector sobre el eje–x,
y en el segundo, su proyecci´on sobre el eje–y. Cada una de estas
proyecciones se obtiene haciendo la diferencia entre la coordenada
correspondiente a la cabeza de la flecha y la coordenada de la cola
de la flecha.

Figura III.3: Los vectores no comienzan necesariamente desde el origen. La Figura representa al vector AB, indicando sus componentes que,como se se˜
nal´o, corresponden a
la diferencia entre la coordenada del punto final menos la coordenada de la cola de la
flecha.
−→

−→

Por ejemplo, los vectores OP y OP de las Figuras II.1 y II.3, se pueden expresar
mediante este m´etodo de la siguiente forma:
−→

OP = [xP − 0, yP − 0] = [xP , yP ],

−→

AB= [xB − xA , yB − yA ].

NO se puede intercambiar el orden de los n´
umeros dentro de un...