Cap1 Superficies

Cap´ıtulo 1

Superficies

1 Superficies de revoluci´on

Definici´on 1.1. Supongamos el espacio tridimensional R 3 dotado del sistema
de coordenadas (x, y, z). Una superficie de revoluci o´ n en este espacio es una
superficie generada al rotar una curva plana C alrededor de alg´un eje que est´a
en el plano de la curva.

Un caso particular es cuando el eje de rotaci´on es alguno de los ejescoordenados y
la curva C est´a sobre alguno de los planos coordenados.
Ejemplo 1.1. Si el eje de rotaci´on es el eje z y la curva plana C est´a sobre el plano
xz con ecuaci´on:
z = f (x)
(1)
tal que f es una funci´on biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuaci´on de
la superficie Σ de rotaci´on tendr´a ecuaci´on:
z = f ( x2 + y2 )

(2)

Para deducir la ecuaci´on anterior, tomemos dos puntos Ay B sobre la superficie Σ
y un tercer punto M sobre el eje z. El punto A es un punto arbitrario de la superficie.
Consideremos la circunferencia α que contiene al punto A, tiene centro en el punto
M y est´a sobre el plano z = z 1 . Esta circunferencia corta el plano xz en el punto
B. Por lo tanto las coordenadas de los puntos son: A(x, y, z 1 ), B(x, 0, z1 ), C(0, 0, z1 ).
Pero el punto Bpertenece a la generatriz C, por lo tanto sus coordenadas las podemos
escribir como B( f −1 (z1 ), 0, z1 ). Ahora la distancia entre A y M es la misma que entre
B y M pues son dos radios de la circunferencia.

1

2




 A(x, y, z1 )
B( f −1 (z1 ), 0, z1 ) =⇒ |AM| = |BM| =⇒


M(0, 0, z1 )
x2 + y2 = [ f −1 (z1 )]2 =⇒ z1 = f

x2 + y2

(3)

Pero A es arbitrario, por lo tanto z 1 = z. Observemos que enla deducci´on de la
f´ormula anterior las variables x, y e z se colocan cuando esto se puede en t´ermino de
la variable fijada z1 , que es la que define el plano z = z 1 donde est´a la circunferencia
α.
Ejemplo 1.2. Si el eje de rotaci´on es el eje x y la curva plana C est´a sobre el plano
xz con ecuaci´on:
z = f (x)
(4)
tal que f es una funci´on biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces laecuaci´on de
la superficie Σ de rotaci´on tendr´a ecuaci´on:
[ f (x)]2 = y2 + z2

(5)

Similarmente como en el ejemplo 1.1, tomamos el plano x = x 1 , perpendicular al
eje de rotaci´on x, y tres puntos sobre este plano que pertenecen a la circunferencia
α con centro en M(x 1 , 0, 0) y que contiene los puntos A(x 1 , y, z) y B(x1 , 0, z). Dado
que B pertenece a la curva generatriz C, sus ordenadas sonB(x 1 , 0, f (x1 )).


 A(x1 , y, z)

B(x1 , 0, f (x1 )) =⇒ |AM| = |BM| =⇒


M(x1 , 0, 0)
y2 + z2 = [ f (x1 )]2

(6)

La hip´otesis que A es arbitrario, completa la demostraci´on.
El C ATENOIDE es una superficie de revoluci´on obtenida al rotar sobre el eje x
la curva z = cosh x, y la ecuaci´on que la representa es: y 2 + z2 = cosh2 x. Una parametrizaci´on usada para graficarla con elsoftware Maple es: x = u, y = cosh u cosv,
z = coshu sin v, con valores de los par´ametros −2 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π . Los ejes
coordenados est´an colocados en forma est´andar. (Ver: C.9.3).

3

2.4
0.4

El C ATENOIDE, superficie de revoluci´on obtenida al girar la curva catenaria z = cosh x, sobre el
plano xz, alrededor del eje x.

-1.6
-3.6
-3.6
-2

0.4
0
2

Figura 1 Catenoide

Ejemplo 1.3. Encuentrela ecuaci´on de la superficie al rotar la recta x = 3y alrededor
del eje x.
´ .
S OLUCI ON
Debido a la rotaci´on sobre el eje x las trazas sobre el plano xy (intersecciones de la
superficie que debemos hallar con el plano xy (z = 0)), deben ser el par de rectas
y = ±3x. Este par de ecuaciones se pueden escribir como una sola ecuaci´on y 2 =
1 2
x . Lo cual es equivalente a decir
3
Trazas sobre elplanoxy =⇒ y 2 −

1
x
3

2

=0

(7)

=0

(8)

Esto mismo debe ocurrir sobre el plano xz. Por lo tanto,
Trazas sobre el planoxz =⇒ z 2 −

1
x
3

2

Las trazas sobre los planos paralelos al plano yz, es decir intersecciones de la superficie con el plano x = a = const., deben ser circunferencias con radio y = f (a) = 3a.
Por lo tanto, la superficie es un cono cuya ecuaci´on es:
y2 + z2 −
R/:

9y2 +...