CapituloIV

C´alculo Vectorial

1

Cap´ıtulo IV: C´
alculo Vectorial
Profesores: Gladys Figueroa Rebolledo, y
Ra´
ul Fierro Pradenas.

1.

Curvas

Definiciones 1 Sea α : [a, b] → Rn (n = 2 ´o n = 3) una curva continua.
Se dice que
(1.1)

C es la traza de α, si C = Rec(α).

(1.2)

α es cerrada, si α es continua y α(a) = α(b).

(1.3)

α es simple, si α es inyectiva.

(1.4)

α es de Jordan, si α es cerrada y surestricci´on al subintervalo ]a, b[ es

inyectiva.
(1.5)

α es suave, si α es continua.

(1.6)

α es seccionalmente suave, si y s´olo si, α es continua salvo en un n´
umero

finito de puntos.
Nota 2 En adelante, α denotar´a una curva seccionalmente suave y denotaremos por
C su traza.
Definici´
on 3 Sean a, b ∈ R3 dos vectores en la traza de α. La logitud de α entre a y
b se define como

t1

L=

α(t) dt,
t0

donde a = α(t0 ) y b = α(t1 ). En general, la funci´on longitud de α se define por
t

s(t) =

α (u) du.
t0

Proposici´
on 4 Sea α : I → R3 una curva suave y s la funci´on longitud de α.
Entonces, para todo t ∈ I, tal que α (t) = (0, 0, 0), (α ◦ s−1 ) (s(t)) = α (t)/ α (t) .

2

Figueroa y Fierro

Observaciones 5 La proposici´on precedente indica que la derivada de α respecto de
sulongitud de arco, es un vector tangente a la curva y de norma 1. Por consiguiente,
definiendo T (t) = (α ◦ s−1 ) (s(t)) se tiene que T (t) es tangente a la curva en α(t)
y adem´as T (t) • T (t) = 1. Si T es derivable en t, entonces T (t) • T (t) = 0 y por
consiguiente T (t) es ortogonal a T (t). Sea κ(t) = T (t) . Luego, si κ(t) = 0, entonces
N (t) = T (t)/κ(t) es un vector normal a la curva y denorma 1. El valor κ(t) se conoce
como curvatura de la curva en α(t).
Definiendo B(t) = T (t) × N (t), se tiene entonces que {T (t), N (t), B(t)} es un
conjunto ortonormal de vectores en R3 , conocido como triedro de Frenet. Adem´as,
es f´acil constatar que si B es derivable en t, entonces B (t) es colineal con N (t). En
este caso, el valor τ (t) definido por B (t) = −τ (t)N (t) se conoce como latorsi´on de
la curva en α(t).
Se deja como ejercicio la demostraci´on de la siguiente proposici´on.
Proposici´
on 6 (F´ormulas de Frenet.) Sup´ongase que α admite derivadas hasta el
tercer orden. Entonces,

T (t)

 N (t)

B (t)





0

κ(t)

0



T (t)





 
  N (t)  .
 =  −κ(t)
0
τ
(t)


 
B(t)
0
−τ (t) 0

Ejercicios propuestos
1. Determine el triedro de Frenet, curvatura ytorsi´on para la curva
α(t) = (cos(at), sen(at), t),

(a > 0).

2. Demuestre que B (t) es colineal con N (t).
3. Demuestre que si α es una recta, entonces κ = 0.
4. Demuestre que α es una curva plana, si y s´olo si, τ = 0.
5. Demuestre que las f´ormulas de Frenet.
6. Demuestre que α es una circunferencia de radio r > 0, si y s´olo si, su curvatura es
constante igual a 1/r y su torsi´on es 0.C´alculo Vectorial

2.

3

Integrales de l´ınea

Observaci´
on 1 Sea F : Rn → Rn continua sobre C. Luego (F ◦ α) • α es continua
en [a, b] y por consiguiente existe su integral sobre [a, b]. Anotaremos,
(1.1)

C

F (P ) • dP =

b
a

F (α(t)) • α (t) dt.

Definici´
on 2 La integral definida por (3.1) se conoce como la integral de l´ınea de F
sobre α (o sobre C).
Ejemplo 3 Sean α : [0, 2π] → R3 tal queα(t) = (cos(t), sen(t), t) y F : R3 → R3 tal
que F (x, y, z) = (x2 , y 2 , 1). Calcular

C

F • dP .

Notaci´
on 4 Sea F : Rn → Rn continua sobre C y tal que F = (F1 , . . . , Fn ). La
integral definida por (2.1), con frecuencia tambi´en se denota como
F1 (x1 , . . . , xn ) dx1 + · · · + Fn (x1 , . . . , xn ) dxn .
C

Ejemplo 5 Calcular

C

(x + 1)y dx + y 2 x dy, donde C : y = x2 desde (0, 0) a(1, 1).

Definiciones 6 Sean D ⊆ Rn un conjunto abierto y F : D → Rn . Si F es continua,
entonces se dice que F es un campo vectorial. Si existe φ : D → R tal que ∇φ = F ,
entonces se dice que φ es un potencial de F y que F es un campo gradiente con
potencial φ (campo conservativo).
Ejemplo 7 Sea F : R3 → R3 tal que F (x, y, z) = (2xyz, x2 z − z + 1, x2 y − y). ¿Es F
un campo gradiente?
Teorema...