carlos

Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Tema 3 Aplicaciones de E. D. de primer orden
Ejercicios resueltos
IV.3-1 Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 6L/min. hacia el
interior de un depósito que inicialmente contiene 50L de solución de salmuera en
la cual se disolvieron 5kg de sal. La solución contenida en el depósito se mantiene
bien agitada y fluyehacia el exterior con la misma rapidez. Si la concentración de
sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0.5kg/L, determinar la cantidad
de sal presente en el depósito al cabo de t minutos. ¿Cuándo alcanzará la
concentración de sal en el depósito el valor de 0.3kg/L?
Solución

x (t) = Kg. de sal dentro del depósito en el instante t
6L/min

dx
xü
ï
= 6 * 0.5 - 6 ï
dt
50 ï

ï
ïx (0) = 5
ï
ï


50L

0.5kg/L

x(0) = 5kg

6L/min

dx
75 - 3x
dx
dt
1
t
=

=
 - ln 75 - 3x =
+C
dt
25
75 - 3x
25
3
25
ln 75 - 3x = -

3t
-3t 25
-3t 25
+ C  75 - 3x = Ce
 x (t ) = 25 + Ce
25

x (0) = 5  5 = 25 + C  C = -20  x (t ) = 25 - 20e

-3t 25

Así, la concentración será igual a:

C (t ) =

x (t ) 1 2 -3t 25
= - e
50
2 5

0.3 = 0.5- 0.4e

G3w

-3t 25

 -0.2 = -0.4e

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA

-3t 25

 0.5 = e

-3t 25

t =

25 ln 2
3

Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema 3. Aplicaciones

© Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos 1

IV.3-2 Una solución de salmuera de sal fluyea razón constante de 4L/min. hacia el
interior de un depósito que inicialmente contiene 100L de agua. La solución
contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior a razón
de 3L/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es
de 0.2kg/L, determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de t
minutos. ¿En qué momento laconcentración de sal contenida en el depósito será
de 0.1kg/L?
Solución

x (t) = Kg. de sal dentro del depósito en el instante t
4L/min

ü
dx
x ï
ï
= 4 * 0.2 - 3
dt
100 + t ï

ï
ï
x (0) = 0
ï
ï


0.2kg/L

100L
x(0) = 0kg

3L/min

3

dt
dx
3
ò
3
x = 0.8  m (t ) = e 100+t = (100 + t )
+
dt 100 + t

(100 + t ) x (t ) = 0.8 ò (100 + t ) dt + C = 0.8
3

3

4(100 + t )
+C
4

x (t ) = 0.2 (100 + t ) +

C
3
(100 + t )

x (0) = 0  0 = 20 +

C
 C = -20 * 1003 = -2 * 107
3
100

x (t ) = 0.2 (100 + t ) -

2 * 107
2 * 107
x (t )
 C (t ) =
= 0.2 3
4
(100 + t )
(100 + t )
100 + t

0.1 = 0.2 -

G3w

2 * 107
2 * 107
4
8
4
 0.1 =
4
4  (100 + t ) = 2 * 10  t = 100 ( 2 - 1)
(100 + t )
(100 + t )

Matemáticas. Primercurso del Grado de CTA

Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema 3. Aplicaciones

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MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos 2

IV.3-3 Un gran depósito está lleno con 500 litros de agua pura. Una salmuera que
contiene 2 gramos de sal por litro se bombea al interior a razón de 5L/min.; lasolución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez.
Hallar el número de gramos de sal que hay en el depósito en un instante
cualquiera. Resolver este mismo problema suponiendo que la solución se extrae
con una rapidez de 10L/min., y calcular cuánto tiempo pasará para que se vacíe
el depósito.
Solución

x (t) = gramos de sal en el interior en el instante t
dx
x ü
ï
ï= 5*2-5
dt
500 ï

ï
ï
x (0) = 0
ï
ï


5L/min

500L

2g/L

x(0) = 0

5L/min

dx
dx
dt
t
1.000 - x
=

=
 ln 1.000 - x = +C
dt
100
1.000 - x
100
100
1.000 - x (t ) = Ce

-t 100

 x (t ) = 1.000 + Ce

-t 100

x (0) = 0  0 = 1.000 + C  C = -1.000  x (t ) = 1.000 - 1.000e

-t 100

En el otro caso:
5L/min

ü
dx
x
ï
ï
= 5 * 2 - 10
dt
500...