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CAPITULO I
CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE IRm EN IRn
En este Capítulo se estudia la noción de función diferenciable de varias variables reales.
Como en el caso de una variable, se estudia primero los conceptos de límite y continuidad, para lo
cual se comienza recordando algunas nociones de Algebra Lineal y se entrega, a modo de lenguaje,
n

algunas nociones topológicas en R , queservirán para facilitar la presentación de casi todos los
conceptos del curso.
En seguida se presenta el concepto de diferenciabilidad, así como los teoremas que permiten
operar con funciones diferenciables de varias variables reales.
Las aplicaciones del Cálculo Diferencial se estudiarán más adelante.
1.- LIMITE Y CONTINUIDAD
1.1. NOCIONES PREVIAS.
a) El Espacio IRn.

R n = { x = ( x1 ,...,x n ): xi ∈ R}, R n es un espacio vectorial sobre R .

R n × R n + → R n

( x , y ) → x + y suma de x e y
x + y = ( x1 + y1 ,....., xn + y n )

Adición:

Producto por escalar:
( λ , x ) → λ x, donde

R × Rn → Rn
λ x = ( λ x 1 ,..., λ x n ).

( R n , + ,. ) es un espacio vectorial con vector nulo θ = (0,...,0) .
Para x = ( x 1 , ... , x n ) ∈ R n , el opuesto de x , − x , es elvector − x = ( − x1 ,.....,− x n ).
b) Producto Escalar en IRn.
n

Si x = ( x1 ,..., x n ), y = ( y1 ,..., y n ) ∈ R
El producto escalar x ⋅ y (o también denotado por x, y ) es el número real definido por:

x ⋅ y = x1 y1 +....+ xn y n .
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:
n

Para todo x , y , z ∈ R s, t ∈ R se tiene:
1) x ⋅ y = y ⋅ x
2) x ⋅ x ≥ 0
3) x ⋅ x = 0 ⇔ x = 0
1

4)

 x ⋅ (sy + t z ) = s( x ⋅ y ) + t ( x ⋅ z ) 


 ( sx + t y ) ⋅ z = s( x ⋅ z ) + t ( y ⋅ z ) 

Es decir:

y ∈ R n , fijo, la aplicación de

Para cada

Para cada x ∈ R

n

n
n

fijo, la aplicación de

en

x → x ⋅ y es lineal.
y → x ⋅ y es lineal.,

en

Lo anterior se expresa diciendo que el producto interior es una forma bilineal, simétrica, positiva y
no degenerada.
c)Norma Euclidiana.
Para x ∈ R

n

se define

x = ( x ⋅ x ) 1/ 2 ,

y se llama la norma euclidiana del vector

x.

Teorema 1: (Desigualdad de Schwarz). Para todo x, y ∈ IR ,se tiene:
n

x⋅ y ≤ x y .

Demostración:
Para todo t ∈ R , se verifica:

0 ≤ x + ty

2

= ( x + ty ) ⋅ ( x + ty )
= x ⋅ x + 2t ( x ⋅ y ) + t 2 ( y ⋅ y )
= x

2

+ 2t ( x ⋅ y ) + t 2 y

2

Usamosahora la siguiente propiedad:
Si p (t ) = at +bt + c es un polinomio a coeficientes reales tal que
2

entonces

b − 4ac ≤ 0 .

Tomando:
Resulta:

p(t ) ≥ 0 , para todo t ∈

2

a= y

2

[ 2( x ⋅ y ) ] 2

b = 2( x ⋅ y )
− 4y

De aquí se obtiene: x ⋅ y ≤

2

x

2

c = x

2

≤ 0,

x y .

■
Del teorema anterior si se considera y = ei ∈ R , se tiene
n

3Por ejemplo en R , si p = ( x , y , z ) , se obtiene: x

2

≤

xi ≤ x , para todo x ∈
p , y ≤

p y z ≤

n

.

p .

,

Ejercicio 1:
3

Sea f :R → R tal que

xyz


f ( x, y, z) =  x 2 + y 2 + z 2

0


si ( x , y , z ) ≠ (0,0,0)
si ( x , y , z ) = (0,0,0)

k ∈ R y n ∈ N tales que: ∀ P ∈ R 3 : f ( P ) ≤ k P

Determine

n

Solución:

x y z

∀ P ∈ R −{0}, f ( P ) =
3

3

Así ∀ P ∈ R :

f ( P) ≤

P

2

P
P

≤

3
2

= P

P . Basta entonces tomar k = 1, n = 1 .

PROPIEDADES DE LA NORMA.
Teorema 2.
n

Cualesquiera que sean p, q ∈ R ,

λ ∈ R:

≥ 0
2) p = 0 ⇔ p = 0
3) λ p = λ p
4) p + q ≤ p + q

1) p

Ejercicio 2:
Probar este teorema.
Ejercicio 3:
n

Pruebe que ∀ p, q ∈ R :

a) p − q ≤ p + q
b)

p − q≤

p−q

OBSERVACION:
n

Cualquier función N : R → R que verifica las propiedades 1, 2, 3 y 4 del Teorema 2 se llama
n

una norma sobre R .

Ejemplos:

3

N 1 ( x1 ,..... xn ) = max { x1 ,... x n

}

y N 2 ( x1 ,... x n ) = x1 +....+ x n

es decir verifican:

N ( p) = 0 ⇔ p = θ
2) N (λ p ) = λ N ( p )

1)

3) N ( p + q )

≤ N ( p) + N (q ), ∀ p, q ∈ R n , ∀ λ ∈...