Casi Todo Sobre Matrices

Matriz

En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.
Los elementos de una matriz se identifican por la fila yla columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.
Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.
 Clasificación de las matrices.
=Triangular superior=
Enuna matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

=Triangular inferior=
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

=Diagonal=
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

=Escalar=
Una matriz escalar es una matrizdiagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

=Identidad=
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

=Potencia=
Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.
Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A
=Traspuesta=
Dada una matrizA, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
=Simétrica=
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
=Antisimetrica=
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.
=Compleja=
Sus elementos son númeroscomplejos aij e ¬
=Conjugada=
Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).
=Hermitiana o hermitica=
Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, elelemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,

es una matriz hermítica.
=Antihermitiana=
una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:
A * = -A
o en su formacomponente, si (A = ai,j):

Para todas las i y las j.
=Ortogonal=
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

Determinante
El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar oextraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.
El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga.

Nota: Es necesario indicar que usaremos los símbolos Det(A) o │A│ para referirnos aldeterminante de A.

Propiedades de las matrices
Suma de matrices
Interna:
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A
Elemento opuesto:A + (−A) = O
Conmutativa: A + B = B + A
Producto de un número real por una matriz
a ·  (b · A) = (a · b) · A  A  Mmxn, a, b 
a  ·  (A+B) = a · A + a · B  A,B  Mmxn , a  
(a+b) · A = a · A+b · A A  Mmxn , a,...