Caso 1 Y 2 De Fracciones Parciales

Integración por fracciones parciales

IX
INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

La integración por fracciones parciales es más un truco o recurso algebraico que algo nuevo
que vaya a introducirse en el curso de Cálculo Integral. Es decir, en realidad en este tema no va a
aprenderse nada nuevo de Cálculo Integral, simplemente se va a echar mano del Álgebra y luego
aplicar técnicas que ya seestudiaron en otros capítulos.
El tema de fracciones parciales en Álgebra se refiere a desumar 1 una fracción, es decir a
deshacer una suma de fracciones; en otras palabras, se trata de encontrar la suma de qué fracciones
da como resultado la fracción dada.
Por ejemplo, realizar la suma de fracciones

3
2
+
x
x +1

1

La palabra “desumar” no existe en el idioma Español. Aquí se ha compuesto esa palabraen base a las
etimologías que rigen al idioma. El prefijo des que denota negación o inversión del significado y el verbo sumar. Es
decir, se pretende dar a entender lo inverso a la realización de la suma, no como operación inversa (que eso es la
resta), sino como inverso de algo que se hace y luego se deshace.

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Integración por fracciones parciales

consiste en el procedimiento conocido desacar común denominador:

3 ( x + 1) + 2 ( x )
3
2
+
=
x
x +1
x ( x + 1)
=

3x + 3 + 2 x
x ( x + 1)

=

5x + 3
x2 + x

Cuando se ha introducido el término desumar , se ha pretendido hacer alusión al hecho de
recorrer el proceso anterior ahora de atrás hacia adelante, es decir, a partir del resultado llegar a las
dos fracciones originales. Equivale a preguntar: ¿La suma de qué fracciones dan comoresultado

5x + 3
?
x2 + x
La teoría de las fracciones parciales se divide en cuatro casos, atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original, los cuales se pueden clasificar en dos formas:

POR EL GRADO

POR REPETICIÓN

⎧1er caso
factores de 1 grado ⎨
⎩ 2º caso

⎧⎪1er caso
factores no repetidos ⎨ er
⎪⎩3 caso
⎧ 2° caso
factores repetidos ⎨
⎩ 4° caso

er

⎧3er caso
factores de 2º grado⎨
⎩ 4º caso

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Integración por fracciones parciales

Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para poderse
clasificar en el caso que le corresponda, o lo que es lo mismo, los casos atienden a los factores que
aparezcan en el denominador.
CASO 1: Se tienen en el denominador factores lineales no repetidos.

Solución: A cada factor lineal de la forma mx + nque aparezca en el
denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma

A
, donde A es una constante a determinar.
mx + n

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales

5x + 3
x2 + x

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den por
resultado la fracción anterior. Lo primero que debe hacerse es factorizar el denominador:

5x + 3
5x +3
=
2
x ( x + 1)
x +x
Una vez factorizado el denominador, se analizan uno a uno los factores del denominador que
aparezcan para ver a cuál caso pertenece cada uno. En este ejemplo, ambos factores son lineales
(de primer grado) y no están repetidos, por lo tanto, ambos pertenecen al primer caso. Entonces
al factor x del denominador le corresponde una fracción de la forma una constante A entre x;por su parte, al denominador x + 1 le corresponde una fracción de la forma otra constante B
entre x + 1. Esto es

113

Integración por fracciones parciales

5x + 3
A
B
=
+
x ( x + 1)
x
x +1

(9.1)

Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original, el procedimiento para
determinar las constantes será el mismo para los casos 1, 2, 3 y 4. Consiste en
a) Realizar la suma sacandocomún denominador:

A ( x + 1) + B ( x )
5x + 3
=
x ( x + 1)
x ( x + 1)
5x + 3
Ax + A + Bx
=
x ( x + 1)
x ( x + 1)
b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen el
mismo denominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. A
partir de este momento se trabajará únicamente con los numeradores, sabiendo que son
iguales:

5 x + 3 = Ax + A...