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MATEMÁTICAS I

DERIVADAS

TEMA 10: DERIVADAS
1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La siguiente gráfica representa la temperatura en el interior de la
Tierra en función de la profundidad.
Vemos que la gráfica es siempre creciente, es decir, a medida que
aumenta la profundidad también aumenta la temperatura. Sin
embargo, ese aumento no es siempre igual ya que hay intervalos
donde elincremento es mucho mayor: es entre 2500 y 3000 km
cuando lo hace con mayor rapidez.
Si y=f(x) es una función cualquiera y a < b son dos posibles valores
de x, se llama incremento de la variable a la diferencia: ∆x = b − a .
Para este incremento de la variable se define el incremento de la
función: ∆f = f (b) − f (a ) .
Se define la tasa de variación media de la función
y=f(x) entre a y b:TVM [a, b ] =

∆f
f (b) − f (a )
=
∆x
b−a

La TVM es el cociente entre el incremento que experimenta la función en ese intervalo y la amplitud del
intervalo, y nos da una medida de “cómo varía la función en ese intervalo”.
Si observamos la siguiente figura y recordamos la definición de
pendiente de una recta, notaremos que la tasa de variación
media en el intervalo [a,b] coincide con lapendiente de la
recta secante a la gráfica de la función que pasa por los
puntos de abscisa x=a y x=b:

La tasa de variación media de una función nos informa acerca
de su variación en un intervalo. Cuanto mayor sea la amplitud
de dicho intervalo la información de la TVM es menos significativa.
Si queremos información más precisa sobre la variación de la función en un punto concreto x=a,tomamos
intervalos de la forma [a, a+h], y calculamos la TVM:
TVM [a, a + h] =

f ( a + h ) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a )
=
a+h−a
h

Considerando incrementos cada vez menores de la variable, es decir, tomando valores de h cada vez más
próximos a cero, podemos definir la tasa de variación instantánea o derivada de la función en x=a
como:
f ′(a ) = lim

h→ 0

f ( a + h) − f ( a )
hLa derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de
la variable tiende a cero. Si el límite existe y es finito decimos que f(x) es derivable en x=a.

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Interpretación geométrica:
Hemos visto que la TVM coincide con la pendiente de la recta
secante a la gráfica que pasa por los puntosde abscisa x=a y
x=a+h. Pues bien la derivada de una función en el punto de
abscisa x=a será la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de y = f (x) en el punto A(a,f (a)).

Ejercicio:
1º) Halla la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a. f ( x) = 3 x − 2 en x = 4
1
b. f ( x) = en x = 1 y en x = 0
x
c. f ( x) = − x 2 + 4 x − 2 en x = −1, x = 0, x = 1, x =2

2º) A partir de la gráfica de f(x) obtén el valor de:
a. f ′(−1) y f ′(3)
b. f ′(−1), f ′(0) y f ′(2)
c. f ′(−1), f ′(0) y f ′(2)

2. FUNCIÓN DERIVADA
En el último ejercicio hemos visto que el cálculo de la derivada de una función en varios puntos requiere
hallar el correspondiente límite en cada caso.
f ( a + h) − f ( a )
, ponemos la variable x en lugar
h →0
h
del valorconcreto “a” , tenemos una nueva función, f ′(x) que a cada valor x le asigna el valor de la
derivada de f(x) en ese punto:
Si en la definición de derivada en un punto: f ′(a ) = lim

f ′( x ) = lim

h→ 0

f ( x + h) − f ( x )
h

Esta función recibe el nombre de función derivada de f(x) o simplemente, derivada de f.
Ejercicios:

3º) Halla la función derivada de f ( x) = x 2
4º) Halla lafunción derivada de f ( x) = 4 x − x 2 , y el valor de f ′(−2), f ′(1), f ′(2) .

En lugar de calcular las derivadas de todas las funciones usando la definición, se acaba por memorizar la
derivada de las funciones más usuales (todas ellas se justifican calculando el límite antes definido).

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Función

Derivada

Función constante:

f...