Centro De Masa

masa yCap´
ıtulo 6: Centro de masa y Momento
´
Indice
1. Centro de Masa

2

2. Din´mica de varias part´
a
ıculas
2.1. Medir el centro de masa experimentalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
13

3. Colisiones
3.1. colisiones en una dimensi´n .
o
3.2. colisiones en 2 dimensiones . .
3.3. Masas puntuales vs finitas . .
3.4. colisiones en el centro de masa

1416
18
19
20

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
..
.

.
.
.
.

.
.
.
.

4. Ap´ndice I:Masas variables y el problema del cohete
e

26

5. Ap´ndice II: Descripci´n microsc´pica de roce
e
o
o

29

1

1.

Centro de Masa
Definamos el concepto de centro de masa como
M rcom =

mi ri

(1)

i

como la suma peque˜as masa mi . Aqu´ M = i mi . Si tomamos una esfera de densidad constante,
n
ı
intuitivamente sabemosque el centro de masa esta en su centro de simetr´
ıa.

Problema Calculemos el centro de masa de dos masas puntuales m1 = 5 kg y m2 = 10kg ubicados
en r1 = 3ˆ + 3ˆ y r2 = 8ˆ + 5ˆ respectivamente, como se observa en la Fig. 1a.
i
j
i
j
El centro de masa entonces es
15rcom = 5 3ˆ + 3ˆ + 10 8ˆ + 5ˆ
i
j
i
j
i
j
rcom
= 19ˆ + 7 ˆ
3

3

lo que demuestra que esta en la linea entrevecr1 y vecr2 , pero mas cerca de vecr2 ya que este tiene
mas masa.

Tambi´n podemos hacer el calculo con distribuciones continuas de masa
e
M rcom =

rdm

donde dm depende del problema.

Problema Calculemos el centro de masa de una cuerda de densidad uniforme como se observa en
la Fig. 1b.
Si tomamos cada peque˜o intervalo de la cuerda, este intervalo tiene masa
n
M
dx
L
y porlo tanto el centro de masa (el cual claramente esta sobre el eje x) es
dm =

L

M xcom =

xdm =

x
0

M
ML
dx =
L
2

Lo cual es obvio ya que sabemos que xcom = L/2.

Problema Calculemos el centro de masa del tri´ngulo invertido donde su borde tiene una ecuaci´n
a
o
y = ax, y una altura y = b como se observa en la Fig. 1c
2

La masa del tri´ngulo es
a
M = ρb2(b/a)/2donde ρ es la masa por unidad de ´rea la cual es constante, 2b/a es la base, y b la altura. En este
a
caso el centro de masa esta sobre el eje y (xcom = 0). En un intervalo dy tenemos un rect´ngulo de
a
base x = 2y/a y altura dy, por lo tanto la masa de este peque˜o rect´ngulo es
n
a
y
dm = ρ dy
a
y por lo tanto el centro de masa esta es
b

M ycom =

y dm =
0

2b3
y
2yρ dy = ρ
a3a

entonces
2
ycom = b
3

Dada la formula del centro de masa Ec. 1, vemos que si descomponemos un objeto en dos objetos
mas simples, como se muestra en la Fig. 1d, a los cuales les sabemos su centro de masa, entonces
podemos ver que podemos separar la sumatoria en dos sumatorias, una para cada objeto, como
M rcom =

mi ri +
O bj 1

mi ri
O bj 2

M rcom = m1 rcom,1 + m2 rcom,2por lo tanto se puede escribir en termino de la posici´n del centro de masa de los objetos mas
o
simples.

Problema Calcule el centro de masa del cuerpo de la Fig. 1d
Vemos que podemos separar este cuerpo en un cuadrado con posici´n
o
Lˆ L ˆ
i+ j
2
2
y un tri´ngulo, de altura h = L/2, con centro de masa
a
rc =

rt =

L/2 L ˆ
Lˆ
i+ L+
j
+4
6

Si asumimos una masa por unidadde ´rea ρ uniforme, entonces tenemos que las masa son
a
mc = ρL2
3

L2
1LL
=ρ
22 2
8
2
donde M = 9ρL /8. Por lo tanto el centro de masa de cuerpo completo es
mt = ρ

92
Lρ
8

rcom = ρL2
= ρL3

2

Lˆ
i + Lˆ
j
2
2

+ ρL
8

3L ˆ
L
i + 74 ˆ
j
4

19 ˆ
i + 23 ˆ
j
32
32

Tenemos entonces
rcom =

19 ˆ 23 ˆ
Li + Lj
36
36

lo cual tiene sentido dada la...