Centro de masa

El centro de masa
En esta sección se describe el movimiento global de un sistema en términos de un punto
especial llamado el centro de masa del sistema. El sistema puede ser un grupo de
partículas, como un conjunto de átomos en un contenedor, o un objeto extendido, como
un gimnasta que salta en el aire. Se verá que el movimiento traslacional del centro de
masa del sistema es el mismo, comosi toda la masa del sistema estuviese concentrada
en dicho punto. Es decir, el sistema se mueve como si la fuerza externa neta se aplicara a
una sola partícula ubicada en el centro de masa. Este comportamiento es independiente
de otro movimiento, como la rotación o la vibración del sistema.
Examine un sistema que consiste de un par de partículas que tienen diferentes masas y
se conectanmediante una barra rígida ligera (figura 9.13). La posición del centro de masa
de un sistema se describe como la posición promedio de la masa del sistema. El centro
de masa del sistema se ubica en algún lugar en la línea que une las dos partículas y está
más cerca de la partícula que tiene la masa más grande. Si se aplica una sola fuerza a un
punto en la barra arriba del centro de masa, el sistemagira en sentido de las manecillas
del reloj (vea la figura 9.13a). Si la fuerza se aplica en un punto en la barra por abajo del
centro de masa, el sistema gira contra las manecillas del reloj (vea la figura 9.13b). Si la
fuerza se aplica al centro de masa, el sistema se mueve en la dirección de la fuerza sin
girar (vea la figura 9.13c). El centro de masa de un objeto se ubica con esteprocedimiento.
Figura

9.13

Dos
partículas
de
distinta
masa se conectan
mediante
una
barra rígida ligera.
a) El sistema gira en sentido de las manecillas del reloj cuando una fuerza se aplica arriba
del centro de masa. b) El sistema gira contra las manecillas del reloj cuando una fuerza se
aplica por abajo del centro de masa. c) El sistema se mueve en la dirección de la fuerza
sin girarcuando una fuerza se aplica en el centro de masa.
El centro de masa del par de partículas descritas en la figura 9.14, se ubica sobre el eje x
y yace en algún lugar entre las partículas. Su coordenada x está dada por

Figura 9.14

Por ejemplo, si x1 = 0, x2 = d y m2 = 2m1, se encuentra que xCM =2d/3. Es decir, el centro
de masa se encuentra más cerca de la partícula más pesada. Si las dosmasas son
iguales, el centro de masa se encuentra a medio camino entre las partículas.
Se puede extender este concepto a un sistema de muchas partículas con masas m i en
tres dimensiones. La coordenada x del centro de masa de n partículas se define como

donde xi es la coordenada x de la i–ésima partícula y la masa total es
, donde
la suma incluye las n partículas. Las coordenadas y y z delcentro de masa se definen
de igual modo por las ecuaciones

El centro de masa se puede ubicar en tres dimensiones mediante su vector de posición
rCM. Las componentes de este vector son xCM, yCM, zCM, definidas en las ecuaciones
anteriores. Por lo tanto,

Aunque ubicar el centro de masa para un objeto extendido es un poco más problemático
que ubicar el centro de masa de un sistema departículas, las ideas básicas discutidas
aún se aplican. Piense en un objeto extendido como un sistema que contiene un gran
número de partículas (figura 9.15). Ya que la separación de las partículas es muy
pequeña, se considera que el objeto tiene una distribución de masa continua. Al dividir el
objeto en elementos de masa mi con coordenadas xi, yi, zi, se ve que la coordenada x
del centro de masaes aproximadamente

con expresiones similares para yCM y zCM. Si se hace que el número n de elementos tienda
a infinito, el tamaño de cada elemento tiende a cero y x CM se conoce con precisión. En
este límite, se sustituye la suma mediante una integral y m i por el elemento diferencial
dm:

La posición vectorial del centro de masa de un objeto extendido se expresa en la forma

que es...