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MATEMÁTICAS

TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

GEOMETRÍA ANALÍTICA
A. Introducción teórica
A.1. Módulo y argumento de un vector.
A.2. Producto escalar.
A.3. Punto medio de un segmento.
A.4. Ecuaciones de la recta.
A.5. Ecuación de una recta dados dos puntos.
A.6. Posiciones relativas de dos rectas.
A.7. Ecuación de una circunferencia.
B. Ejercicios resueltosA.1. Operaciones con vectores. Coordenadas.
A.2. Módulo y argumento de un vector.
A.3. Posiciones relativas entre vectores.
A.4. Ecuación de una recta dados dos puntos. Alineación de puntos.
A.5. Ecuaciones de la recta.
A.6. Posición relativa entre rectas.
A.7. Ecuación de una circunferencia.

A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Módulo y argumento de un vector.
El módulo de u = (a, b) es: u = a2 + b 2 y el argumento de u = (a, b) ,
que denotamos por α , es α = artg

b
a

A.2 Producto escalar
El producto escalar de dos vectores u y v está dado por:
u.v =
|u|.|v|.cos α , en donde α es el ángulo formado por los dos
vectores.

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Geometría analítica. Ejercicios resueltos

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Si conocemos las coordenadas de los vectores, esto es, u = (a, b) y
v = (c, d) ,entonces u.v = a ⋅ c + b ⋅ d

A.3 Punto medio de un segmento.
 x + x2 y1 + y2 

Si A (x 1 , y 1 ) y B (x 2 , y 2 ) , entonces el punto medio es M  1
,


 2


2 
A.4 Ecuaciones de la recta.
a) Ecuación vectorial: (x, y) = (a, b) + λ ( v 1 , v 2 )

b) Ecuaciones paramétricas:

c) Ecuación continua:


x = a + λv 1 


y = b + λv 2 



x−a y−b
=
v1
v2

d)Ecuación general: Ax+Bx+C=0, tal que
A
m =−
B

v⊥ (A, B) ,

v (B, −A) ,

e) Ecuación explícita: y = mx + b , con m la pendiente y b la ordenada
en el origen.
f) Ecuación punto pendiente: y = y 1 + m ( x − x 1 )

A.5 Ecuación de una recta dados dos puntos
La ecuación de una recta que pasa por los puntos A(x1 , y 1 ) y B(x 2 , y 2 )
y − y1
x − x1
está dada por:
=
.
x2 − x1 y2 − y1Si tenemos tres puntos, A(x1 , y 1 ) , B(x 2 , y 2 ) y C(x 3 , y 3 ) , y están
x − x1 y 2 − y 1
alineados, entonces verifican la siguiente ecuación: 2
=
x3 − x2 y3 − y 2
A.6 Posición relativa entre rectas

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Geometría analítica. Ejercicios resueltos

Dos restas r y s son paralelas, r s , si tienen la misma pendiente:
mr = ms .
Dos restas r y s son perpendiculares, r⊥ s , si sus pendientes verifican:
m r ⋅ m s = −1 .

A.7 Ecuación de una circunferencia

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 es la ecuación general de una
circunferencia, cuyo centro y radio están dadas, respectivamente por:

 A B
a) O − , −  .


 2


2
1
b) r =
A 2 + B 2 − 4C .
2
Lo anterior es equivalente a lo siguiente:
2

2

(x − a) + ( y − b) = r 2 es la ecuaciónde una circunferencia que tiene
por origen O (a, b) y radio r.

B. EJERCICOS RESUELTOS

B.1. Operaciones con vectores. Coordenadas.

1. Sean los vectores: u = (−1, 0) , v = (1, 2) y w = (0, −1) . Calcula:
a) −u + 3v

b) w − u − 2v

c) u − (2w + v)

Solución:
a) −u + 3v = −(−1, 0) + 3 (1, 2) = (1, 0) + (3, 6) = ( 4, 6)
b) w − u − 2v = (0, −1) − (−1, 0) − 2 (1, 2) = (−1, −5)
c)

u− (2w + v) = (−1, 0) −  2 (0, −1) + (1, 2) = (−1, 0) −  2 (0, −1) + (1, 2) =
= (−1, 0) − (1, 0) = (−2, 0)

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Geometría analítica. Ejercicios resueltos

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2. Halla los vectores definidos por cada una de las siguientes parejas de
puntos:
1 
 2 1
b) C(2, –2) y D(–1, –3)
c) E  , 1 y F − , 
a) A(–1, 2) y B(2, –3)




2 
 3 5



Solución:
En general, las coordenadas de un vector que tiene su origen en
P (p1 , p 2 ) y extremo en Q (q 1 , q 2 ) vienen dadas por:
PQ = (p 2 − p 1 , q 2 − q 1 ) .
Entonces:
a) AB = (2 + 1, −1 − 2) = (3, −3)
b) CD = (−1 + 2, −3 − 2) = (1, −5)
 2 1 1
  7 6
c) EF = − − , + 1 = − , 
 


 

 3 2 5

  6 5

Nota:
Consideramos que A, C y E son
orígenes, mientras que...