Cinematica Del Punto

TEMA 3
CINEMÁTICA DEL PUNTO






Introducción



La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos haciendo abstracción de las causas que lo producen. Dicho de otra manera, se ocupa de describir las trayectorias.
El movimiento más sencillo de estudiar es el de una partícula, que es un objeto de cuyo tamaño y estructura se prescinde ya sea porque realmente es muypequeño o porque a la escala del problema planteado puede considerarse como tal: por ejemplo, la Tierra sería una partícula en los problemas referentes al movimiento planetario.
La posición de la partícula se especifica asimilándola a un punto del espacio (por eso se dice que es un punto material) y dando su vector de posición r o lo que es lo mismo, sus tres coordenadas x , y , z.Al transcurrir el tiempo la partícula va ocupando distintas posiciones, el conjunto de las cuales constituye la trayectoria del movimiento, que será cierta curva del espacio r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Si el movimiento está limitado a un plano serán suficientes dos de estas funciones del tiempo para definir la trayectoria. Y cuando ésta es rectilínea, basta una sola, x(t) por ejemplo, si los ejescoordenados se toman en la dirección adecuada.





2. Curvatura y vector normal



Una curva cualquiera queda definida al expresar el vector de posición r de sus puntos como función de cierto parámetro. Para cada valor del parámetro se obtiene un punto P de la curva.

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Figura 1







En particular, podemos utilizar como parámetro la longitud s delarco comprendido entre un punto fijo Po de la curva y P :

[pic] (1)

La derivada del vector r es tangente a la curva y vale:

[pic] (2)

El elemento de arco y su cuerda son infinitésimos equivalentes; es decir su cociente tiende a la unidad:

[pic] (3)

Así pues, la derivada de r(s) resulta ser igual al vector unitario tangente, T. Derivando porsegunda vez:

[pic] (4)

Como T tiene módulo constante su derivada debe ser perpendicular al propio vector, por lo que dT/ds define la dirección normal a la curva. Si designamos por N al vector unitario:

[pic] (5)

Para calcular el módulo consideremos dos puntos P y Q de la trayectoria separados por un pequeño arco s. Al desplazarse de un punto alotro, tanto el vector tangente como la dirección normal a la curva giran un mismo ángulo (figura 2).
T = TQ - TP se obtiene trasladando TP al punto Q. Del triángulo resultante se deduce que en el límite, cuando s 0, el ángulo |T|/|T| = |T| ya que el arco se aproxima a la cuerda. Por tanto:

[pic] (6)






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Figura 2





El radio de curvatura queda asídefinido como la derivada del arco respecto del ángulo, ds/d ; es decir, d = ds/ , que es una ecuación similar a la que define el ángulo subtendido por un arco de circunferencia, = s/r. En resumidas cuentas, cada elemento de la curva se puede considerar como un pequeño arco de circunferencia de radio (s).
Sustituyendo el resultado anterior en la ecuación (5) tenemos:

[pic](7)








3. Posición, velocidad, aceleración



Como ya se dijo en la introducción, la posición de una partícula respecto de cierto sistema de referencia se especifica mediante el vector r(t), que va del origen de coordenadas O a la posición P de la partícula.
En instantes sucesivos t , t' , t'' , ... el extremo del vector determina las posiciones delpunto material P , P' , P'' , ... . Por tanto, r es una función del tiempo; en coordenadas cartesianas:

[pic] (8)


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Figura 3



La trayectoria es la curva indicatriz del vector de posición; y x(t) , y(t) , z(t) son las ecuaciones paramétricas de la curva respecto al tiempo, que proporcionan las coordenadas cartesianas del punto en cada instante.


La...