cinetica

PrincipiodeD’Alembert 15.1PrincipiodeD’Alembert Enpr´acticamentecualquiersistemamec´anica,adem´asdelasfuerzasquecontrolan suevoluci´on,existencierton´umerodeligadurasqueconstri˜nensumovimiento. Podemosimaginaralgunosejemplossencillosdesistemasconligadura-
s:doscuerposunidosporunabarrar´ıgidaounhiloinextensible,lascuentasdeun´abaco´o lasmol´eculasdeungasconfinadoenelinteriordeunrecipiente.Talcomoveremos,podemosincorporarestasligadurasenladescripci´ondel sistema,sinnecesidaddetenerunconocimientoprecisodelasfuerzasquelaspr-
oducen.Queunsistemaest´econstre˜nidoporligadurasindicaquehayfuerzaspresentesquenoconocemosap-
riori.Parasoslayarestedesconocimiento,habremos dereformularlaMec´anicademodoqueestasfuerzasnoaparezcanexpl´ıcitamente.Paraello,comencemosanalizandounejemplomuysencillo.Consideremosdos masasM1yM2sobredosplanosinclinadoslisosde´angulosα1yα2yunidaspor unhiloinextensiblecomosemuestraenlafigura.Lasfuerzasaplicadassobrecada masasonelpesoMigydosfuerzasdeligadura,unaproducidaporlareacci´on delplano˜fiyotraejercidaporelhilofi.Laecuaci´ondeNewtonparacadamasa seescribe dpi dt=Mig+˜fi+fi Consideremosahoraquecongelamoseltiempoyefectuamosundesplazam-
ientodiferencialarbitrariodeambasmasasδr1yδr2.Sumandosobrelasdosmasasdel sistemaobtenemos M1g−dp1 dt+˜f1+f1.δr1+ M2g−dp2 dt+˜f2+f2.δr2=0 Ahorapongamosciertasrestriccionessobreeldesplazamientoδri.Paraempezar, 1
2 Cap´ıtulo15.PrincipiodeD’Alembert podemosexigirqueestedesplazamientoseaalolargodelcorrespondie-
nteplano inclinado.Enestecaso,comolareacci´onentreelplanoinclinadoylamasaesperpendicularaaquella,˜fi.δri=0.Porlotanto,podemoseliminarlasreacciones delplanoinclinadoenlaecuaci´onanterior, M1g−dp1 dt+f1.δr1+M2g−dp2 dt+f2.δr2=0 Porotrolado,sabemosquelasfuerzasdev´ınculof1yf2ejercidasporelhilosobre ambasmasassondeigualmagnitud,yambasapuntanhaciaarriba´ohaciaabajo delosplanosinclinados.Paraaprovecharestehecho,pedimosqueeldesplazamientodeambasmasastambienseadelamismamag-
nitud,yquesiunoapuntahaciaabajoporelplanoinclinado,elotroapuntehaciaarriba.Enotraspalabras, estamospidiendoqueeldesplazamientonoestirenicontraigaelhiloq-
ueconecta ambasmasas.Conestacondici´onadicionalsobreeldesplazamiento,tenemosque f1.δr1=−f2.δr2.Porlotanto,podemoseliminartambi´enlafuerzaejercidapor elhiloenlaecuaci´onanterior,escribiendofinalmente M1g−dp1 dt.δr1+M2g−dp2 dt.δr2=0 Vemosqueconunaelecci´on“adecuada”deldesplazamientoδrihemoslogradoeliminarlasfuerzasdeligaduraenlaecuaci´onanterior.Enrealidad,lainformaci´onsobrelasfuerzasdeligadurapermaneceenelhechodequeeldesplaza-
mientoelegidoescompatibleconlasligadurasimpuestasalsistema.Quierodecir quenointentaforzarlasligaduras,empujandolasmasasendirecci´onalplano inclinado,ocontrayendooestirandoelhiloquelasune.Estetipoparticulardedesplazamientosedenominavirtual.Pordesplazamientovirtualinfinitesimal deunsistemaentendemosunavariaci´ondesuconfiguraci´oncomoresultadode cualquiercambioinfinitesimalarbitrarioδridesuscoordenadas,compatiblecon lasligadurasimpuestasalsistema,enuninstantet.Elnombredevirtualdistingueestedesplazamientodecualquierdespl-
azamientorealqueseproduzcaen elsistemaenunintervalodetiempodtduranteelcualpuedenhabervari-
adolas fuerzasylasligaduras1.Generalizamoselresultadoanterior.Enlaecuaci´ondeNewtonparalai´esima part´ıculadeunsistemamec´anicocualquiera,separamoslasfuerzasdev´ınculo responsablesdelasligaduras,escribiendodpi/dt=Fi+fi.Consideremosahora 1Quenovar´ıeeltiempoesmuyimportante,yaqueencasocontrariolasfuerzasdeligadura podr´ıanrealizaruntrabajo(virtual)nonulo.Estoocurrir´ıa,porejemplo,conunabolitaobligadaamoverseporunalambrem´ovil.Sisemantienefijoeltiempo,undesplazamiento virtualdelabolitaesnecesariamenteperpendicularalasfuerzasder-
eacci´onque,porlotanto,no realizantrabajo.Sieldesplazamientoeseneltiempo,puedetenerunacomponentetransversal que-ahorasi-conducir´ıaauntrabajononulodelafuerzadeligadura

15.2.Interpretaci´onest´aticadelPrincipioded’Alembert 3 undesplazamientovirtualδri.Sumandosobretodaslaspart´ıculasdelsistema obtenemos...