circuitos RC

7 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LOS
CIRCUITOS Y SU SOLUCIÓN
7 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LOS CIRCUITOS Y SU
SOLUCIÓN........................................................................................239
7.1 INTRODUCCIÓN. ...............................................................240
7.1.1 SOLUCIÓN NATURAL Ó DE ESTADO
TRANSITORIO:.........................................................................243
7.1.2 SOLUCIÓN FORZADA:...............................................244
7.2 INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA RESPUESTA
NATURAL Y DE LA RESPUESTA FORZADA..........................244
7.3 RESPUESTA NATURAL Y FORZADA DE CIRCUITOS
SENCILLOS. ..................................................................................248
7.4 NECESIDAD DE UN MÉTODO SISTEMÁTICO PARARESOLVER LAS ECUACIONES DE LOS CIRCUITOS ............276
7.5 EJEMPLOS...........................................................................277
7.5.1 EJEMPLO 1 ...................................................................277
7.5.2 EJEMPLO 2. ..................................................................282

239

7.1 INTRODUCCIÓN.

Figura 7.1.1.Ecuaciones diferenciales de loscircuitos y su solución.

Con ayuda del circuito de la figura 7.1.1, repasaremos
brevemente como planteamos las ecuaciones de los circuitos.
Primero que todo dividimos los elementos en dos categorías:
los activos, ó fuentes, en los cuales se conoce el voltaje, la
corriente, ó ambas cantidades; y los pasivos, ó impedancias y
fuentes controladas, en los que se establecen ecuaciones entre
losvoltajes y las corrientes.
En las fuentes (las no controladas) la característica esencial
es que no se plantean ecuaciones propiamente dichas (a lo
más, se establece una “asignación” del tipo Va = 10 voltios,
por ejemplo). Para el circuito de la figura 7.1.1, tendremos:
Va = V a
Asignaciones de las fuentes
Vb = Vb
Entendiendo por Va y Vb voltajes conocidos, no incógnitas a
determinar.
Enlas impedancias, en cambio, se plantean las ecuaciones en
el mismo circuito.

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V1 = Z1i1
V2
V3
V4
V5

= Z2.i2
= Z3i3
= Z4i4
= Z5i5

Ecuaciones en las impedancias

Ahora se plantean las ecuaciones de Kirchhoff:
Nodo N 1 → i1 = i2 + i 3
Son redundantes, como debemos saber
Nodo N 2 →i 2 + i3 = i1

Malla M 1 → Va − V1 − V3 − V 5 = 0
Malla M 2 → V3 − V2 − V4 − Vb = 0

Noson redundantes, son
independientes

Reemplazando las ecuaciones de “rama” y la de nodo en las
de malla obtenemos:
Va − Z 1i1 − Z 3 (i1 − i 2 ) − Z 5 i1 = 0

Z 3 (i 1 −i2 ) − Z 2 i 2 − Z 4 i2 − Vb = 0

Figura 7.1.2.Ecuaciones diferenciales de los
circuitos y su solución.

Estas mismas ecuaciones se pueden obtener directamente
(ver figura 7.1.2), utilizando la técnica ó método de las“corrientes de malla” (ver apéndice A). Recuérdese entonces
que este método consiste en escoger unas variables, “las

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corrientes de malla”, que cumplen automáticamente las
ecuaciones de nodo de Kirchhoff, y plantear solo las
ecuaciones de malla pero con los voltajes de rama
reemplazados por las ecuaciones que los relacionan con las
corrientes. Así mismo, existe el método de los“voltajes de
nodo” (ver apéndice A) que utiliza como variables los voltajes
en los nodos, que cumplen automáticamente las ecuaciones
de malla. Solo se requiere, entonces, plantear las ecuaciones
de nodo pero con las corrientes reemplazadas por las
ecuaciones que las relacionan con los voltajes de nodo.
Volviendo a las dos últimas ecuaciones, vemos que podemos
despejar una de las corrientes,digamos i2:
Va = ( Z1 + Z3 + Z5 )i1 − Z3i2

i2 =

[

1
( Z + Z3 + Z5 )i1 − Va
Z3 1

]

Y reemplazarla en la otra ecuación:
Z 3i1 − (Z 3 + Z 2 + Z 4 )i2 − Vb = 0
∴ Z 3i1 − (Z 3 + Z 2 + Z 4 )
∴ Z3 −

[

(Z

3

Z1 + Z 3 + Z 5
i1 − Va
Z3

+ Z2 + Z4 )( Z1 + Z3 + Z5 )
Z3

]

i1 = Vb −

(Z

3

− Vb = 0
+ Z2 + Z4 )Va
Z3

2
∴ Z3 − ( Z3 + Z2 + Z4 )( Z1 + Z3 + Z5 )...