circuitos RL

9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y 
RLC 

9.1.

INTRODUCCIÓN 
En el capítulo anterior vimos como los circuitos resistivos con capacitancias o los
circuitos resistivos con inductancias tienen variables que son calculadas mediante
ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora vamos a ver que cuando en el
mismo circuito tenemos inductancias y capacitancias las ecuaciones diferencialesresultantes serán de segundo orden, por lo cual los denominamos circuitos de
segundo orden.
También veremos cómo en circuitos con inductancias y capacitancias la energía
almacenada por uno de estos elementos puede ser transferida al otro. Esto puede
producir repuestas de tipo oscilatorio, incluso cuando no hay fuentes en el sistema.
El procedimiento para encontrar las ecuaciones diferencialesde estos circuitos es
el mismo que para los casos de orden uno. La solución de las ecuaciones
diferenciales también es muy similar, pero ahora tendremos dos raíces de la
ecuación característica, las cuales pueden ser reales diferentes, reales iguales o
complejas conjugadas (con parte real igual o diferente de cero). En función de esto
tendremos cuatro tipos de respuesta de estado cero:oscilatoria, subamortiguada,
sobreamortiguada y críticamente amortiguada. Lo que será un poco más complejo
ahora será el cálculo de las condiciones iniciales, ya que necesitaremos
adicionalmente las condiciones iniciales de la primera derivada de la variable de
interés.

9.2.

CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO 
El circuito de la Figura 9-1 muestra un circuito muy simple de segundo ordenconformado por una capacitancia y una inductancia. Aunque este circuito no tiene
fuentes, puede tener energía almacenada (condiciones iniciales) en cualquiera de
los dos elementos o en ambos simultáneamente. La condición inicial del voltaje en
la capacitancia nos fija el valor del voltaje en la inductancia, así como la condición
inicial de la corriente en la inductancia nos determina lacorriente en la capacitancia
(pero con signo contrario).
Voltaje en la capacitancia
Vamos a encontrar la ecuación diferencial del voltaje en la capacitancia y resolverla
(respuesta de entrada cero).

Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

Figura 9-1
La ecuaciones que describen el circuito son:

i L = −i C = −C
Nodo:

dVC
dtDerivando

d 2VC
di L
= −C
dt
dt 2
− VC + VL = 0

VC = VL = L

Malla:

diL
dt

di L 1
1
= V L = VC
dt
L
L
Igualando la derivada de la corriente de la inductancia tenemos:

diL
d 2VC 1
= −C
= VC
dt
dt 2
L
C

d 2VC 1
+ VC = 0
L
dt 2

d 2VC
1
+
VC = 0
2
LC
dt
Como no hay entrada la respuesta depende exclusivamente de las condiciones
iniciales con dosconstantes indeterminadas A y B:

VC (t ) = Ae λ1t + Be λ2t
Para encontrar la solución homogénea para el voltaje en la capacitancia
necesitamos conocer dos condiciones iniciales que pueden ser

170

VC (t o ) y

dVC (t o )
.
dt

Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

9.2. CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO

Para simplificar vamos a suponer que conocemos lascondiciones iniciales del
circuito en cero para el voltaje de la capacitancia

( )= i

inductancia i L 0

−

condición inicial de

L0

( )

VC 0 − = VC 0 y la corriente en la

. A partir de estas condiciones debemos encontrar la

dVC (0 )
. Para esto hacemos uso de las relaciones entre
dt

voltaje y corriente en la capacitancia:

iC (t ) = C

dVC (t )
dt

Despejando laderivada del voltaje tenemos:

dVC (t ) iC (t )
=
dt
C
En el tiempo cero tenemos:

dVC (0 + ) iC (0 + )
=
dt
C
Ahora debemos conocer la corriente inicial en la capacitancia, y teniendo en cuenta
que iC = −i L y que la corriente en la inductancia es continua:

dVC (0 + ) iC (0 + )
i
i L (0 + )
i L (0 − )
=
=−
=−
= − L0
dt
C
C
C
C
De manera que ya tenemos las dos...