circuitos

Universidad de Carabobo
Facultad de Ingenier´
ıa

Fecha: 30/06/2012
Sec.:
Nombre:
C.I.:
Matem´ticas Aplicadas
a
(1er Examen Parcial - 1/2012)
(Tipo A)

1. Dada la funci´n: h (z) = ay + bxy + cx2 + dy 2 + i x + 4xy + x2 − y 2 , calcule los valores que deben tomar
o
a, b, c, d ∈ R para que la funci´n h sea derivable en todo C. Justifique su respuesta. (2p)
o
Soluci´n
o
Como h (z)= h (x, y) = ay + bxy + cx2 + dy 2 + i x + 4xy + x2 − y 2 tenemos que:
u (x, y) = Re (h (x, y)) = ay + bxy + cx2 + dy 2
y
v (x, y) = Im (h (x, y)) = x + 4xy + x2 − y 2
para que la funci´n h (z) sea derivable en todo C, tendr´ que existir la derivada de h (z) en todo C y esto se
o
a
garantiza seg´n el teorema que establece lo siguiente:
u
Si f satisface las ecuaciones de C-R en z0 y a suvez las derivadas parciales de primer orden de las funciones
componentes f = u + iv son continuas en z0 , entonces f es derivable en z0 .
Entonces verificaremos en 1er lugar las ecuaciones de C-R, para ello calculamos la derivadas de las funciones
u y v, as´
ı:
∂
u (x, y) = by + 2cx ,
∂x

∂
u (x, y) = a + bx + 2dy
∂y

y con v se tiene:
∂
v (x, y) = 4x − 2y,
∂y

−

∂
v (x, y) =−2x − 4y − 1
∂x

Aplicando C-R : ux = vy ∧ uy = −vx , se obtiene:
by + 2cx = 4x − 2y
a + bx + 2dy = −2x − 4y − 1

(1)
(2)

de 2 se tiene:
a = −1,
b = −2
2d = −4 ∴ d = −2
y de 1:
2c = 4 ∴ c = 2
y de esta manera se satisfacen las C-R en todo C. Ahora como las derivada: ux , vy , uy y vx son continuas en
todo C ya que son polinomios, podemos asegurar entonces que h es derivable en todoC y en consecuencia
es una funci´n entera.
o

2. Sea f (z) =

|Re (z) Im (z)|

a) Determine si f satisface las ecuaciones de Cauchy-Rieman en (0, 0) .(1p)
Soluci´n
o
f (z) = |Re (z) Im (z)| = |xy|
De donde u (x, y) =

|xy| y v (x, y) = 0, de donde:
∂u
∂x
∂u
∂y

y evidentemente:

∂v
∂x (0,0)

=

u (0 + ∆x, 0) − 0
0−0
= l´
ım
=0
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x

=

0−0
u (0, 0+ ∆y) − 0
= l´
ım
=0
∆y→0 ∆y
∆y→0
∆y

(0,0)

(0,0)

=0

y

l´
ım

l´
ım

∂v
∂y (0,0)

= 0, y de esta manera se satisfacen las Ecuaciones de C-R

en (0, 0) .
b) Estudie la derivada de f en (0, 0). Justifique su respuesta. (2p)
Soluci´n
o
Por definici´n la derivada de f (z) en (0, 0) est´ dada por:
o
a
∂f
∂z

=
(0,0)

=

l´
ım

∆z→0

f (0 + ∆x, 0 + ∆y) −f (0, 0)
∆x + i∆y

|∆x∆y|
(∆x,∆y)→(0,0) ∆x + i∆y
l´
ım

que al tomar un iterado tenemos:
∂f
∂z

|∆x∆y|
= l´ (0) = 0
ım
∆x→0 ∆y→0 ∆x + i∆y
∆x→0

= l´
ım
(0,0)

l´
ım

y si empleamos la trayectoria ∆x = ∆y con ∆x → 0+ tenemos que:
∂f
∂z

|∆x|2
= l´
ım
(0,0)

∆x→0+

∆x (1 + i)

= l´
ım

∆x→0+

∆x
1
1 1
=
= − i
∆x (1 + i)
1+i
2 2

y este resultadoes un valor distinto al obtenido mediante el iterado, por lo que el l´
ımite no existe (seg´n
u
∂f
el Teorema de Unicidad del L´
ımite) y por ende la: ∂z
no existe aunque f satisface las Ecuaciones
(0,0)

C-R.
3. Calcule usando el valor principal (k = 0) de las funciones multivaluadas involucradas sobre las ramas principales:
4π Log(2i+1)
tanh i
(2p)
3
z2

Nota: (z1 )z2 = elog(z1 )= ez2 log(z1 ) con z1 , z2 ∈ C.

Soluci´n
o
Calculando por separado se tiene
tanh i

4π
3

= 1. 732 1i

y
Log (2i + 1) = ln (|2i + 1|) + iArg (2i + 1)
√
= ln 5 + i arctan 2 ≈ 0,804 72 + 1. 107 1i
con esto obtenemos
4π
3

Log(2i+1)

y como: Log (1. 732 1i) =

1
2

=

(1. 732 1i)0,804 72+1. 107 1i

=

tanh i

e(0,804 72+1. 107 1i)Log(1. 732 1i)

ln 3 + π i =0,549 31 + 1. 570 8i
2
4π
3

Log(2i+1)

√

1
5+i arctan 2)( 2 ln 3+ π i)
2

tanh i

4π
3

=

e(ln

=

tanh i

e−1. 297 1+1. 872 2i

Log(2i+1)

= 0,273 32

4. Calcule los valores de z que satisfacen la siguiente ecuaci´n:
o
z 6 = (i + 1) |z|2

(3p)

Soluci´n
o
Si hacemos z = rejθ
z 6 = (i + 1) |z|2
π

r6 ej6θ = ej 4 r2 , con r ≥ 0
Entonces igualando...