Clase_0_3

Por fin llegamos al primer átomo !!!
La energía potencial de un sistema protón-electrón es
electrostática:

Usamos la ecuación de Schrödinger tridimensional, independiente
en el tiempo (que ya bastante dificil quedará).

Para átomos “hidrogenoides” (He+ or Li++)
Se reemplaza e2 por Ze2 (Z es el numero atomico).

Coordenadas
esféricas para
poder hacer
algo:

Transformando a
coordenadas esféricasla ecuación queda:

Separar variables
La funcion de onda  depende del radio r y de los ángulos y .
Para simplificar la matemática, suponemos que la funcion es
“separable”, o sea que:

Esto funciona, una vez terminado uno verifica que no de algo mal

Esto da soluciones para la parte radial y para la parte angular por
separado, las soluciones están en la siguiente diapo:

La parte radial dela funcion de onda

La energía solamente depende de la
función de onda radial (numero
cuántico principal n)
Hay muchas funciones de onda válidas estacionarias, cada una tiene
un determinado numero cuentico n.
El valor para cada energía es negativo (atraccion) y esta dado por:
2
e
1
En = –
2a 0 n 2

Los orbitales 4s, 4p, 4d y 4f del H tienen la misma energía. N=4

La parte
angular.

La  deenergía mas baja, nuestro
amigo el orbital 1s
3/2

1  1  -r/a0
100 
e
  a0 

Máxima probabilidad de
encontrar el electrón es
pegadito al núcleo !!

En realidad, es mejor ver la probabilidad RADIAL,
o sea, mirando por capas como una cebolla.
Despues de todo, las capas de afuera son mas grandes,
asi que la probabilidad es mayor ahi.

Maximo radial

Orbitales s

Adentro de esta bola
está el90% de la
probabilidad

nodos

Orbitales p
Nodo en el núcleo

Bolas para orbitales 2p, con el 90% de probabilidad adentro

Comparacion de la parte radial de los orbitales 2s y 2p. El 2p esta
calculado en la dirección en que hay algo, recordar que hay dos
direcciones vacías, sin probabilidad.

Una “cross section” de un
orbital 3p

Superficies al 90% de los orbitales 3d

Superficies al 90% delos orbitales 4f

El siguiente : Helio
Al aparecer mas de un electrón, tenemos que tener en cuenta las
interacciones entre electrones:
Parece simple.

V=–

I



i=1

I,J

2
Ze
e
+ 
4 0r i
i, j = 1 4 0r ij
2

electron – nuclear

electron – electron

Comparemos el sistema del Hidrógeno con el Helio.

Hamiltoniano del Hidrógeno
Tiene una energía cinética para el electrón, y una energíapotencial debida a la
atraccion electrostática (coulombica) entre el electrón y el núcleo

2
Ze
– r
1

+
La soluciones que vimos daban para las energías:
2
e
1
En = –
2a 0 n 2

2
h
–
2
2m
-

Hamiltoniano del Helio
Lo mismo que en el Hidrogeno, pero ademas hay un termino de repulsión
entre los dos electrones.

e2
r12

2

– h 12
2m

2
2
h
–

2m 2

-

– Ze
r1

2

-

++

2
Ze
– r
2

Pero no sabemos ladistancia entre los electrones !!!
El problema es analíticamante irresolublem, solo se pueden encontrar resultados
numéricos. Una de las formas de hacerlo es a traves de un método llamado
“metodo variacional”.

El teorema variacional
El método variacional permite obtener una energía del sistema basal,
sin tener que resolver la ecuación de Schroedinger.
Por supuesto, esa energía da mal.
El métodoesta basado en el siguiente teorema:
Para cualquier sistema al cual se le aplica el operador hamiltoniano
si  es una funcion cualquiera, que se porte bien y que satisfaga las
condiciones de contorno, entonces se cumple que:

*Hd E0
Donde E0 es el valor verdadero (desconocido en general) de la
energía del estado estacionario válido mas bajo (el basal).
Este teorema permite encontrar una cotasuperior de la energía.

Utilidad práctica del método variacional
Uno puede obtener una energía enorme, y eso es una cota
superior, pero muy poco útil. Lo bueno es conseguir una cota
superior que no sea MUY SUPERIOR al valor verdadero (el
que podría calcular si pudiera resolver la ecuación de
Schrodinger en forma exacta).
La forma es agarrar funciones conocidas (por ejemplo, las 
del hidrógeno),...