clases de equivalencia

Actividad Didáctica 6
Clases de equivalencia
Introducción
Sea A un conjunto. Una relación binaria R sobre A es un subconjunto de A  A. Cuando
(x, y)  R se escribe x R y y se dice que x estárelacionado con y (mediante R).
Una relación binaria R sobre A es una relación de equivalencia si verifica las siguientes propiedades:
1)  a  A, a R a (R es reflexiva).
2)  a  A   b  A, si aR b, entonces b R a (R es simétrica).
3) Para cualesquiera a, b, c  A, si a R b y b R c, entonces a R c (R es transitiva).
Si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, y a es unelemento de A, entonces la clase de a es el conjunto de todos los elementos de A que están relacionados con a, es decir:
[a] = {x  A tal que x R a}
Se define el conjunto cociente de A por R como elconjunto de todas las clases de equivalencia de elementos de A, y se denota por A / R. Así
A / R = {[a] tal que a  A}
Además se tiene que si R una relación de equivalencia sobre A, entonces A / R esuna partición de A.

Actividad: sea el conjunto A = {1, 2, 3,…, 50} y sea R una relación de equivalencia sobre A, definida como R = {(x , y) tal que x  y es un múltiplo de 5).
Con Maxima obtenerlas clases de equivalencia de A, creando primero una lista de elementos del 1 al 35, luego convertirla en el conjunto A para utilizarla precisamente como conjunto.



Operación
Instrucción y/oresultado
1.
Obtener una lista de elementos de 1 al 35.
L:makelist(i,i,1,35);
[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35]



2.Convertir la lista obtenida a un conjunto.
A:setify(L);
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,
21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35}



3.
Obtener la función x  y es unmúltiplo de 5. NOTA: utilizar la instrucción lambda.
X:equiv_classes(A,R);
{5,10,15,20,25,30,35}



4.
Obtener las clases de equivalencia de A.



X:equiv_classes(A,R);
{{1,6,11,16,21,26,31},...