Clasificacion de ecuaciones de 2do grado con una incognita

18/12/2014

Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

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6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una
incógnita
La ecuación
parece complicada; pero en realidad es una ecuación de
primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente: 7x18=0
Hemos resuelto muchas ecuaciones deeste tipo y hemos visto que siempre tienen una
solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de
solucionar ecuaciones de primer grado con una variable.
En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben el
nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática
con una variable escualquier ecuación que se pueda escribir de la forma:
,
donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma
como la forma general de la ecuación cuadrática.

Raíz Cuadrada
Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial
en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en lasiguiente forma:

El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se
ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1

Resuelve por medio de la raíz cuadrada
SOLUCIÓN:

Ejemplo 2

Resuelve por medio de la raíz cuadrada

SOLUCIÓN:

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapVI/6_9_ecua_seg.htm

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Clasificación ysolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Ejemplo 3

Resuelve por medio de la raíz cuadrada
SOLUCIÓN:

Factorización
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática
son tales que la
expresión
puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado
con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El
método deresolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números
reales:
Si a y b son números reales, entonces:
a×b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero)
Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos
ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.
Ejemplo 1

Resuelve por factorización
SOLUCIÓN:

Ejemplo2

Resuelve por factorización
SOLUCIÓN:

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapVI/6_9_ecua_seg.htm

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Ejemplo 3

Resuelve por factorización
SOLUCIÓN: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto, debe de
usarse otro método para encontrarla solución.

Completando el trinomio cuadrado perfecto
El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática
general
para que quede así:
. Donde A y B son constantes. Esta
última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se explicó
en la sección anterior. Así:

Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte,haremos una pausa breve para analizar
un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a
para
que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica para
encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:

En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el cuadrado
de la mitad delcoeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos lleva
directamente a la regla:
Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma
se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea:

o sea

Ejemplo 1

Completa el cuadrado de

SOLUCIÓN: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma
, por lo que obtenemos:...