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Área bajo una curva integral. Integral definida – Matemáticas I – I.E.S. Al-basit

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INTEGRAL DEFINIDA
El área bajo una curva integral: aproximación
Multitud de problemas que se plantean en a vida real, se resuelven calculando el área bajo
una curva, como puede ser el cálculo de un espacio recorrido por un vehículo en función de la
velocidad.
En el caso de que la función

f  x selineal, el cálculo del área con el eje OX, se reduce a

un problema geométrico del cálculo de áreas de figuras conocidas.
# Ejemplo: Para calcular el área de la función

f  x=x

con el ej OX, en el intervalo

[−4,4] , bastará con que calculemos la suma del área de los triángulos

T2

T1

Que será
1
1
Área T1 Área T2= . 4 . 4 . 4. 4=16
2
2

Si la función

f  x

noes lineal y positiva, en una primera aproximación al área

podríamos tomar un área
aproximada, tomando dicha
área

como

suma

de

rectángulos y trapecios. Sin
embargo,

si

queremos

calcular el área de la curva
f  x
el

con eje

intervalo

OX , en
[ a , b] ,

podemos dividir el segmento

[ a , b] en n partes iguales
y calcular trapecios igualmente espaciados,cuanto mayor sean n, mejor será la aproximación.

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# Ejemplo.- Para calcular el área aproximada entre la función

2

f  x=x 2 y el eje OX, en

el intervalo [0,1] . Si tomamos n = 5 (5 trapecios), su área aproximada será
1 f 0 f 0,2 1 f 0,2 f 0,4 1 f 0,2 f 0,4
Area= .
 .
 .
+
5
2
52
5
2
1 f 0,4 f 0,6 1 f 0,6 f 0,8 1 f 0,8 f 1
+ .
 .
 .
=
5
2
5
2
5
2
f 1
1 f 0
= .
 f 0,2 f 0,4 f 0,6  f 0,8
=0,34
5
2
2



Que es una buena aproximación a su área real, que es



1
=0,33333… .
3

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Área bajo una curva: Regla del trapecioGeneralizando la utilización de n trapecios igualmente espaciados, para calcular el área bajo
f  x en un intervalo [ a , b] ,

la curva de una función positiva
Denominando:
x 0 =a =

b−a
x 1=a1 .
b−a
= a0 .
n
n
El área será

Área≈

b−a
n



x 2 =a2 .

x 3=a3 .

b−a
n

...

f  x 0
f  x n
 f  x 1  f  x 2 … f  x n−1 
2
2





f  x nb−a f  x 0 
 f  x 1  f  x 2 … f  x n−1 
n
2
2

# Ejemplo.- Para calcular el área de



b−a
=b
n

x n =an .

n →∞ , será

Que tomando límites cuando
Área=lim n ∞

b−a
n

n−1



f  x=x 2 con el eje OX, en [0,1] . Será









f 1
1 f 0
i
1 0 n−1. n.2 n−1 1 1
Area=lim n ∞ .
∑ f

=lim n ∞ . 
 =
n
2
n
2
n 2
2 36 n2
i =1
Ya que
n−1

∑
i=1

  
n−1

f

n−1

n−1

n−1. n .2 n−1
i
i2
1
1
=∑ 2 = 2 . ∑ i 2 = 2 . ∑ i 2=
n i=1 n
6
n i =1
n i =0

Área por rectángulos inferiores y superiores
Sea la función continua y no negativa
x 0 =a=a0 .

f : [a , b]→ ℝ , si tomamos

b−a
n

x 1=a1 .

b−a
n

I 1 =[ x 0 , x 1 ]

m1=min x ∈ I f  x 

M 1=max x ∈ I f  xx 2 =a2 .

b−a
n

I 2 =[ x 1 , x 2 ]

m2 =min x ∈ I f  x

M 2 =max x ∈ I f  x

x 3=a3 .

b−a
n

I 3 =[ x 2 , x 3 ]

m3=min x ∈ I f  x

M 3 =max x ∈ I f  x

….............

….............

1

2

3

….............

b−a
mn =min x ∈ I f  x
I n =[ x n−1 , x n ]
=b
n
Se denomina suma inferior aproximada por rectángulos de

x n =an .

n

suma
ns n  f ,[ a , b]=∑  x i – x i−1 . mi
i=1

1

2

3

….............
M n =max x ∈ I f  x
n

f  x en

[ a , b]

a la

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[ a , b] a la

f  x en

Se denomina suma superior aproximada por rectángulos de
suma
n

S n  f ,[a ,b]= ∑  x i – x i−1  . M i
i =1

Entonces, si...