Cohete

Prof. Omar Contreras

Consideremos un cohete de masa M (Incluye su combustible), que en el instante de tiempo t, lleva una velocidad V, ha expulsado una masa m de gases ( M + m = M0 ) y que en un instante posterior dt, ha expulsado una cantidad de masa dm y por ende aumenta su velocidad en dV. La velocidad de expulsión Ve, vista desde tierra, puede ser positiva o negativa dependiendo de lavelocidad del cohete:
|

V + dV |

En t + dt: |

M - dm |

Ve |

V |

En t: |

M |

Todas las velocidades son respecto a tierra. |

dm |

Consideremos primero el caso en que las fuerzas externas son cero y por lo tanto se conserva el momento lineal total entre los instantes t y t + dt:
M V = ( M – dm ) ( V + dV ) + dm Ve.
Esta ecuación, despreciando diferenciales desegundo orden, conduce a:
M dV – ( V – Ve ) dm = 0. (1)
Un parámetro importante que depende solamente de las condiciones del motor del cohete es la velocidad de expulsión de los gases respecto al cohete y no respecto a tierra: Ue. Como en todos los problemas de velocidad relativa debemos identificar cada término de la ecuación V = U + V’, para lo cual llenaremos las siguientes dos tablas:SISTEMA FIJO | Tierra |
SISTEMA MÓVIL | Cohete |
PARTÍCULA | Gases expulsados |

U | VELOCIDAD DE | EL SIST. MÓVIL | RESPECTO A | EL SIST. FIJO | |
| | EL COHETE | | LA TIERRA | V |
V | VELOCIDAD DE | LA PARTÍCULA | RESPECTO A | EL SIST. FIJO | |
| | LOS GASES EXP. | | LA TIERRA | Ve |
V’ | VELOCIDAD DE | LA PARTÍCULA | RESPECTO A | EL SIST. MÓVIL | |
| | LOS GASESEXP. | | EL COHETE | Ue |

De esta manera la ecuación de la velocidad relativa ( V = U + V’ ) se transforma en: Ve = V + Ue.

En esta ecuación la velocidad de los gases expulsados respecto al cohete Ue, siempre es negativa, por lo tanto, por comodidad escribiremos su signo explícitamente en la ecuación y consideraremos Ue como un valor positivo:

Ve = V – Ue.

Quedando la ecuación (1):
Md V – Ue dm = 0.

Adicionalmente, como todo aumento en la masa de los gases expulsados es a expensas de la masa del cohete, se debe cumplir que:

dm = - d M.

( Equivalentemente podemos decir que como M0 es constante: d M + d m = 0.)
Obteniendo finalmente:
M d V + Ue d M = 0. (2)
O, separando variables:
.
Integrando esta ecuación desde el instante inicial, obtenemos la velocidaddel cohete:
.

Como la masa inicial es mayor que la masa en el tiempo t, la velocidad en t es mayor que la inicial.

Si ahora consideramos que existen fuerzas externas actuando sobre todo el sistema (gravedad, roce viscoso, etc.), tenemos:
,
donde la variación del momento lineal total está dada por la ecuación (2):
.
El primer término de esta ecuación es la masa del cohete por suaceleración aC, y el segundo se conoce como Fuerza de Empuje FE, obteniendo:
M aC = FEXT + FE,
donde:
.

Como el cohete va perdiendo masa, es menor que cero y la Fuerza de Empuje es positiva.

Ecuación del cohete de Tsiolskovski
 
La ecuación del cohete de Tsiolkovski, llamada así por Konstantin Tsiolkovski que fue el primero que la derivó, dice que el incremento de velocidad debido a la acción delmotor cohete, Δv, es proporcional al logaritmo del cociente entre la masa inicial, mi , y la masa final del vehículo, mf, siendo la constante de proporcionalidad igual al producto de la aceleración de la gravedad, g, por el impulso específico del cohete, Is, (parámetro que depende del tipo de propulsante utilizado).
Δv = g Is ln (mi/mf)
Aunque es una simplificación, la ecuación del cohetemuestra lo esencial de la física del vuelo del cohete en una única y corta ecuación.
La magnitud Δv es una de las cantidades más importantes en mecánica orbital que cuantifica lo difícil que es cambiar de una trayectoria a otra. Se puede conseguir una Δv elevada, usando mi o Is grandes o mf pequeñas.. Los cohetes Saturno V utilizados en el Proyecto Apolo y los motores de iones usados en sondas no...