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Dimensión fractal


Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff-Besicovitchpara la costa de gran Bretaña.
En geometría de fractales, la dimensión fractal,  es un número real que generaliza el concepto de dimensión ordinaria para objetos geométricos que no admiten espacio tangente.
La dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán completamente parece llenar un fractal elespacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas. No existe una única dimensión fractal sino una serie de dimensiones que frecuentemente resulta equivalentes pero no siempre. Entre estas definiciones está ladimensión de Hausdorff-Besicovitch, la dimensión de la dimensión de empaquetamiento, la dimensión de homotecia y las dimensiones de Rényi. Ninguna de estas dimensiones deberíaser tratada como universal, ya que a veces la discrepancia entre ellas está asociada a diferencias en la estructura interna del fractal. Aunque para un buen número de fractales clásicos los valores de las diferentes definiciones de dimensión fractal todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes.
En la práctica algunas definciones de dimensión fractal resultan más sencillas decalcular, y por eso son más ampliamente usadas, aunque no siempre tienen las propiedades matemáticas más deseables. Por ejemplo la dimensión de conteo de cajas o de dimensión Minkowski-Bouligand y la dimensión de correlación son ampliamente usadas en la práctica, por su fácil implementación algorítmica.
Por ejemplo, la dimensión del copo de nieve de Koch tiene una dimensión topológica de uno, perono puede ser tratada como una curva; la longitud entre cualesquiera dos puntos en el fractal (dada por la medida de Lebesgue) es infinita. Ningún segmento del fractal tiene parecido a una línea, pero tampoco tiene parecido a una parte de un plano. En cierta forma se podría decir que es demasiado grande para poder ser considerada como un objeto unidimensional, pero es demasiado fina para serconsiderada un objeto bidimensional. Esto lleva a la pregunta de si su dimensión se describe mejor con un número entre uno y dos. Ésta es una manera simple de motivar la idea de dimensión fractal.
Índice
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1 Definiciones
1.1 Dimensión de homotecia
1.2 Dimensión de información
1.3 Dimensión de correlación
1.4 Dimensiones de Rényi
1.5 Dimensión de Hausdorff-Besicovitch
1.6 Dimensiónde empaquetado
2 Relación entre dimensiones fractales
3 Propiedades de las dimensiones fractales
4 Estimación de la dimensión fractal en la práctica
5 Referencias
5.1 Notas
5.2 Bibliografía
[editar]Definiciones
Hay principalmente dos formas aproximadas para generar una estructura fractal. Una es hacerla crecer a partir de un objeto y la otra es construir las divisiones subsecuentes de unaestructura original como en el triángulo de Sierpinski (Fig.(2)).1 En este caso se sigue la segunda aproximación para definir la dimensión de las estructuras fractales.
[editar]Dimensión de homotecia


Fig.(1) Otra forma de definir la dimensión.2
Si se toma un objeto con un tamaño lineal igual a 1 en una dimensión euclideana , y se reduce su tamaño por un factor de  en cada dirección espacial,se necesitan un número  de objetos autosimilares para cubrir el objeto original (Fig.(1)). Sin embargo, al despejar para D, la dimensión definida por
 .
es igual todavía a su dimensión topológica o euclideana.2 Aplicando la ecuación anterior a una estructura fractal, se puede obtener la dimensión de la misma (que es más o menos la dimensión de Minkowski-Bouligand) como un número no entero, comose esperaba.

donde  es el número de estructuras autosimilares de lado lineal ε que se necesitan para cubrir toda la estructura.
Por ejemplo, la dimensión fractal para el triángulo de Sierpinski (Fig.(2)) está dado por,



Fig.(2) Triángulo de Sierpinski.
[editar]Dimensión de información
Otras cantidades dimensionales incluyen la «dimensión de información» que considera cómo se escala...