como despejar

Matemáticas Prácticas

Introducción
Este es un texto práctico que intenta satisfacer una necesidad apremiante
entre los estudiantes de primer semestre de la Facultad de Química: saber
emplear habilmente un mínimo de matemáticas. No nos va a preocupar
mucho el rigor matemático —eso de demostrar matemáticamente todos
los teoremas, o usar las matemáticas contemplando los posibles casosexcepcionales— sino que nos van a preocupar más los resultados. Se trata
de que los lectores adquieran las capacidades mínimas para hacer las operaciones matemáticas necesarias para entender sus clases de Cinemática
y Dinámica, Álgebra, Cálculo Diferencial y Química General. Este no es
un texto de matemáticas, es un texto de matemáticas prácticas.

Vamos a aprender a despejar
Entre lasmanipulaciones matemáticas que más empleamos están los
llamados despejes. En general podemos decir que despejar significa
manipular una ecuación de acuerdo con ciertas reglas para obtener
otra ecuación en donde una de las variables se encuentra sola del lado
izquierdo de la ecuación. Primero que nada definiremos qué entendemos
por ecuación. Una ecuación es una expresión matemática que incluye un
signode igualdad. Por ejemplo,
0

+

¡¢

  ¡ 
()=

+

0

1
2

¤ ¡£
2

es una ecuación. Dice que cierta cantidad (la posición en función del
tiempo, ( )) es igual al resultado de hacer las operaciones que se
encuentran del lado derecho de la ecuación (tomar el valor de , elevarlo
al cuadrado, multiplicar al resultado por y a este por 1 2 y al resultado
sumarle el resultado demultiplicar a por 0 y finalmente a todo
eso sumarle 0 ). Normalmente este ecuación la vamos a emplear tal
como está: sabremos cuánto vale , cuánto vale , cuánto vale 0 y
cuánto vale 0 y desearemos calcular el valor de ( ). Sin embargo
alguna vez será necesario usar esta misma ecuación de otra manera, por
ejemplo, sabremos cuánto vale 0 , 0 , y ( ) y desearemos conocer
el valor de
que hace que laigualdad se cumpla. En estos casos
necesitaremos despejar. Como dijimos anteriormente despejar quiere
decir que manipulemos la ecuación para escribirla de tal forma que del
lado derecho sólo aparezca y del lado izquierdo aparezcan todas las
demás variables. Desde luego existen reglas para lograr esto; si aplicamos
esas reglas, encontraremos que, al despejar obtenemos

¡  ¡ ¢  

 

££

£

¨
¢¡
¡ §¦   ¦ ¡  
0

¢

 

¡

0

¡ £

¡£

¢

2( ( )

¥

¡ 

=

¡

£

Existen tres ideas necesarias para poder
despejar:
1. Si hacemos la misma operación sobre
los dos lados de una igualdad, la igualdad sigue siendo válida.
2. Toda operación matemática tiene su
inversa. Hacer dos operaciones inversas
es como no hacer nada.
3. Existe un orden pararealizar las operaciones indicadas en una ecuación.
Para despejar se debe seguir el orden
inverso.

)

2

En lo que sigue vamos a estudiar las reglas para realizar estos despejes.
Las técnicas para despejar están basadas en tres ideas sencillas.
La primera es que una igualdad sigue siendo una igualdad aun cuando

afectemos a sus miembros, siempre y cuando los afectemos de la mismamanera. Por ejemplo, imaginemos la siguiente igualdad obvia:
2=2

¨

Primera idea: “hay que hacer lo mismo
de los dos lados de la igualdad”

(Se ve media tonta esta igualdad, ¿verdad?, evidentemente dos es igual
a dos. Pues si se ve tonta, ¡buenas noticias!, porque todas las igualdades
que usaremos son así de tontas, siempre dicen “lo del lado derecho de
la igualdad es igual a lo del ladoizquierdo...”) Nuestra primera regla se
refiere al hecho de que si hacemos la misma operación en ambos lados
de la igualdad, la igualdad sigue siendo válida, por ejemplo, si restamos
ocho a ambos miembros obtenemos,

6=

6

8

¨¦

¦

o, similarmente,

8=2

¤¦

2

¦

Nótese que la igualdad ya no es la misma, ya no dice que “dos es
igual a dos”, es una nueva igualdad, dice...