compendio de matematica

SET-DIC 2013 PRIMERA OPCIÓN

ÁLGEBRA
TEMAS:
 GRADOS DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
 POLINOMIOS ESPECIALES

EL POLINOMIO
POLINOMIO: Llámese así a toda la expresión
algebraica racional entera.

NOTACION:

GRADOS DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
GRADO: Es la categoría que se asigna a una
expresión algebraica de acuerdo a los exponentes que
presentan sus variables. Las clases de grados son:I) GRADO RELATIVO (G.R.).Cuando se considera a una sola variable.
1. EN UN TERMINO: Es el exponente de la variable
en mención.
2. EN UNA EXPRESIÓN: Es el mayor exponente
que presenta la variable en mención en uno de los
términos de la expresión.
II) GRADO ABSOLUTO (G.A.).- Cuando
considera a todas las variables.
1. EN UN TERMINO: Es la suma de todos los
exponentes que presentan lasvariables.
2. EN UNA EXPRESION: Es la mayor que
presenta un término de la expresión.


se

5x 4 y 3 .Grado relativo a“x”= GR(x) = 4

variable

P(x;y)
Nombre genérico del polinomio
 LECTURA:
P ( x ; y): “P ” de “x”∧ “y”
 SIGNIFICADO:
P ( x ; y): “P” depende de “x” ∧ “y”;
“P” está en función de “x” ∧ “y”.
Ahora veamos la representación correcta de todo
polinomio:
• P(x)≡ 4x2 : “P”de “x”es idéntico a: 4x2.
• P(x;y)≡ x2 +5y2 +1: ”P”de “x”∧”y” es idéntica a:
x2 +5y2 +1
OBSERVACIONES: Tener en cuenta lo siguiente:

1. Todo número real es un polinomio, al cual se le
2.

Grado relativo a “y” = GR (y) = 3 ;
Grado absoluto = GA = 4 + 3 =


7

3x 5 y 3 − 4 x 7 y 2 .Grado relativo a

“x” = GR (x) = 7;
Grado absoluto = GA = 7+2=9
OBSERVACIONES:
Tener en cuenta losiguiente:
1. Para la resolución de un problema donde se pida
calcular el grado, entiendase que se está
refiriendo al grado absoluto
GRADO GRADO ABSOLUTO

•
2.

= Equivalente

El grado de toda constante numérica diferente de
cero (todo número real diferente de cero) es cero.

3.

podrá
denominar:
CONSTANTE
POLINOMICA ó CONSTANTE MONOMICA.
Todos los polinomios tienen un gradodefinido a
excepción del polinomio cero (idénticamente
nulo) para el cual el grado no se encuentra
definido.

A todo polinomio se le podrá asignar un
nombre particular, este nombre dependerá de la
cantidad de términos que presente.
* P(x)≡5x7
1 término se le llama
“MONOMIO”.
2 términos se le llama
* P(x)≡3x2–√2
“BINOMIO”.
3 términos se llama
* P(x)≡x3 –5x +1
“TRINOMIO”.OBSERVACIONES: Sea P(x) un polinomio de grado
“n”de la forma siguiente:
P(x) ≡ a0 xn+a1 x n –1+a2 x n –2+....+an.
Con: a0 ≠0
tener en cuenta lo siguiente:
•
a0 = coeficiente principal o coeficiente director

(directriz).
an = término independiente o término
constante.
El valor numérico (V.N.) del polinomio P(x) cuando
su variable “x” es sustituida por “a” (numero real )
se representa asi:•

VN P(x) = P(0)
x=a
Notar que para nuestro polinomio:
P(x) ≡ a0 xn +a1 x n–1+ a2 x n – 2+ .... +an.
P(0) = an = término independiente de P(x).Es decir:

∴

VN P(x) = TI.P(x)= P(0)
x=0

También notar que si: x = 1;
P(x) = a0 + a1 + a2 +.....+an
Suma de coeficientes de P(x)

∴
•

VN P(x) =∑ Coef.P(x) = P(1)
x=1

Si el coeficiente principal de un polinomio es la
unidad a estepolinomio se le llamará
“POLINOMIO MONICO”

POLINOMIOS IMPORTANTES
POLINOMIO HOMOGENEO: Es aquel polinomio
que tiene todos sus términos del mismo grado, estos
polinomios serán de 2 o mas variables .
* P( x ; y ) ≡ x2 y5–3x5 y2 + x7 . Grado de
homogeneidad =

exponente de su variable que aparece en todos sus
términos desde el mayor exponente hasta el exponente
cero.

Para los ejemplosanteriores tenemos.
• P(x)≡x–5x2+ 4
# términos = 2+1=3
• P(x)≡ x4 y + 5xy3 – 2x2y2 +x3
Notar que “y”es la variable, que aparece en todos los
términos admitiendo como exponentes a todos los
números naturales (3) hasta el menor (0). Luego se
tendrá # términos = 3 + 1= 4.
POLINOMIOS
IDENTICOS:
Son
aquellos
polinomios donde sus términos semejantes poseen
igual coeficiente. Veamos un...